排列、组合、二项式定理的基本题型

■河北省唐山市海港高级中学 曹树聪

■河北省唐山市海港高级中学 曹树聪

一、计数原理

例1 如图1,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有____种(用数字作答)。

图1

解析:采用间接法。根据乘法原理,对每一个格子依次涂色,共有6×5×5×5=750(种),再去掉使用4种颜色的涂色方法数A46=360(种),则所求的涂色方法数为750-360=390(种)。

二、排列问题

例2 (2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有____个。(用数字作答)

解析:满足条件的四位数有两种情况:一是没有一个数字是偶数的四位数;二是正好有一个数字是偶数的四位数。故共有=1080(个)。

三、组合问题

例3 (2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有____种不同的选法。(用数字作答)

解析:(方法一)完成这件事情分两类:第一类,服务队中只有1名女生,先从2名女生中选取1名女生,共有种方法,再从6名男生中选取3名男生,共有种方法,然后在这已选取的4名学生中选取1名队长,1名副队长,共有种方法,因此第一类共有=480(种)选法;第二类,服务队中有2名女生,先从2名女生中选取2名女生,只有1种方法,再从6名男生中选取2名男生,共有种方法,然后在这已选取的4名学生中选取1名队长,1名副队长,共有种方法,因此第二类共有1×=180(种)选法。所以完成这件事情共有480+180=660(种)选法。

(方法二)考虑间接法:所有可能的情况为,其中不含有女生的情况有,所以=840-180=660(种)选法。

四、求二项式展开式的指定项或常数项

五、求二项式展开式的指定项的系数

例5 (2017全国卷Ⅲ)(x+y)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为( )。

A.-80 B.-40 C.40 D.80

解析:(x+y)(2x-y)5=x(2x-y)5+y(2x-y)5,由(2x-y)5展开式·(2x)5-r(-y)r可得,r=3时,x(2x-y)5中x3y3的系数为×(-1)3=-40;r=2时,y(2x-y)5中x3y3的系数为×(-1)2=80。故x3y3的系数为80-40=40,应选C。

六、求二项式展开式中符合要求项的个数

例6的幂的指数是整数的项共有( )

A.3项 B.4项 C.5项 D.6项

解析,故6|(72-5r),即6|r。而r∈[0,24],所以r=0,6,12,18,24。共有5项,应选C。