田忌赛马与一次性博弈

丁立新

田忌赛马可以通过博弈论来解读，具体案例如下：

“齐使者如粱，孙膑以刑徒阴见，说齐使。齐使以为奇，窃载与之齐。齐将田忌善而客待之。忌数与齐诸公子驰逐重射。孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈。于是孙膑谓田忌日：“君弟重射，臣能令君胜。”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金。及临质，孙膑日：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷。”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金。于是忌进孙膑于威王。威王问兵法，遂以为师。” 出自《史记》卷六十五：《孙子吴起列传第五》

田忌的与齐威王赛马，田忌的马分上中下三等，齊威王的马也分上中下三等，比赛时齐威王的上等马对田忌的上等马，齐威王的中等马对，齐威王的下等马对田忌的下等马，结局是3比O负。如果齐威王的最差的马也比田忌最好的马跑得快，那么比赛毫无悬念，这里有一个信息就是，田忌的上等马比齐威王的中等马强，田忌的中等马齐威王的下等马强。如果知道了这个信息就有可能进行新的组合。胜者用1表示，负者用0表示。

第一次赛马用图示表示如下（组合1）：

齐威王

田忌

结局（田忌）

上等马——上等马

O

中等马——中等马

O

下等马——下等马

O

第二次赛马用图表示如下（组合2）：

齐威王

田忌

结局（田忌）

上等马——下等马

O

中等马——上等马

1

下等马——中等马

1

我们把所有的组合罗列如下：

从田忌的角度，齐威王出上等马的时候，田忌的对应有3种，分别可以出上等马、中等马和下等马，田忌获胜的可能是0.

如果齐威王出中等马的时候，田忌的对应有3种，分别可以出上等马、中等马和下等马，田忌获胜的可能是1次或者说是三分之一，前提是由田忌的上等马应对。

如果齐威王出下等马的时候，田忌的对应有3种，分别可以出上等马、中等马和下等马，田忌获胜的可能是2次，或者说是三分之二，前提是田忌的上等马对应齐威王的下等马或田忌的中等马对应齐威王的下等马。

以上的第二次赛马对田忌来说是最佳组合，还可以有罗列以下几种组合：

组合3：

齐威王

田忌

结局（田忌）

上等马——上等马

O

中等马——下等马

O

下等马——一中等马

1

组合4：

齐威王

田忌

结局（田忌）

上等马——下等马

O

中等马——中等马

O

下等马——上等马

1

组合5：

齐威王

田忌

结局（田忌）

上等马——中等马

O

中等马——上等马

1

下等马——下等马

O

从田忌赛马的博弈中我们可以得到的启示是，即使自己没有优势的资源，只要有相对的优势仍然可以取胜。一个人是这样，一个企业是这样，一个国家也可以是这样。反过来，即使有绝对的优势如果措施不当也可能失败。

中国的乒乓球比赛，从前发生过一些让球事件，目的是让最强的选手（相对于外国选手）来对付外国的选手，如果在半决赛时都是中国选手，那么就可以人为确定哪一个胜出，并不是通过比赛结果确定，也就是有一个人必须输，那么，胜出的人对外国选手胜出的几率增大。

进一步论述，假设有A、B两个中国选手进入半决赛，外国的选手为C已经确定。A与B比赛的历史记录是A失败的几率大，但是A与C的比赛历史记录获胜的几率大而B获胜的历史记录几率小。

如果比较A与B

B>A

如果A、B、C三者比较

A>C

B

在这种情况下，如果事先让球的话，胜率明显增大，是一个理想选择。这是从球队的整体利益或国家的整体利益看的。但是对于让球者就失去了机会，虽然他获胜的几率小，但是并不是没有，这也有悖于体育精神。如果从纯粹的理论来看，让球者如果能分享最终的比赛成果可能会公平一些。在体育比赛中适当的使用博弈的方法并无不可。

在军事上集中优势兵力有的也可以归为博弈。明末明朝的军队远远地大于清的兵力，明分五路进攻清，清则集中兵力对应明的一路大军，最后清没有失败。

从田忌赛马的案例中会给我们很多启示，但是，这个案例是不能重复的，非重复博弈，也就是说只能用一次。从案例中，田忌知道齐威王每次出什么马，也就是说对于田忌信息是对称的，对于齐威王来讲信息就不是对称的了，也就是说每次比赛齐威王知道自己出什么马却不知道田忌出什么马。田忌可以根据齐威王的出马情况决定自己出什么马，比赛的规则明显对田忌有利。

如果改变规则，由田忌先出马，如果齐威王也了解田忌马的等级，那么田忌必输无疑。从利益最大化的角度看，齐威王肯定要求田忌先出马。如果彼此双方都不了解对方马的等级，随机出马，比赛的结果只能服从概率分布了。在体育比赛、战争及商业，了解信息是十分必要的，可以改变自己的不利地位。

目前也仍然有赛马，规则不是用田忌赛马时的规则了，每方出一匹马，跑在前面即获胜。田忌赛马作为一次性博弈不能重复，但是也不能说这样的博弈没有意义。毕竟是孙膑发现了制度（游戏规则）的漏洞取得了比赛的胜利。从另一个角度看，对制度也是一个完善的过程。战争与企业的经营亦然。军事家就是发现敌人的漏洞而采取对策。企业家发现市场的缺陷而采取行动。很多成功是不能复制和重复的，这就是一次性博弈的魅力。