一道线性规划问题引起的思考

王楠

线性规划是运筹学中应用比较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。提高经济效益是人们不可缺少的要求，在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，线性规划的作用越来越大，提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，比如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料；二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。线性规划所研究的就是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划。线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。下面结合一个例题谈一下线性规划问题的解决方法。

提出问题

已知生产每吨A产品的利润是2万元，生产每吨B产品的利润是3万元，现因条件限制，该企业仅有煤8吨，并且生产A产品只能供电16千瓦，生产B产品只能供电12千瓦，问如何安排生产A产品和B产品企业利润最大。

数学建模

设生产A、B两种产品各为x、y吨，利润为z万元，则该问题转化为一个线性规划数学问题。即转化为

1.画出不等式组所表示的平面区域：

2.把z=2x+3y变形为，这是斜率为在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，可以看到，直线与不等式组表示的区域的交点满足该不等式组，而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。

3.获得结果：

K=由上图可以看出，当实现经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交點M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，x=4，y=2时，z有最大值14。

所以生产A产品4吨，B产品2吨，企业最大利润为14万元。

变式探究

若对抽象出来的该数学问题进行变式，我们再研究线性规划问题中目标函数求最值的规律。

1.若z=3x+5y，求z的最大值。

K=显然，当也是经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，这时3x+5y=22.所以，x=4，y=2时，z有最大值22。

2.若z=2x+5y，求z的最大值。

此时直线还经过M点截距最大吗？显然不是，k=应该是经过直线y=3与直线x+2y-8=0的交点（2，3）时截距最大，这是2x+5y=19. 所以，x=2，y=3时，z有最大值19。

3.若z=2x-3y，求z的最大值。

这时直线经过（4，0）截距最小，即z最大。所以所以，x=4，y=0时，z有最大值8。

4.若z=x+2y，求z的最大值。

这时直线斜率，与直线x+2y=8的斜率一样，故取到最大值的点有无数个，不妨设在M（4，2）处时，可得到z有最大值8。

获得结论

对于线性规划问题，目标函数在哪儿取得最大值，主要看目标函数的斜率与围成平面区域各直线的斜率比较大小。

解简单线性规划问题是“数形结合”的最好典范。线性规划问题中的可行域，实际上就是二元一次不等式组所表示的平面区域，要是没有这个可行域，问题就得不到这样直观明了的解决，这可谓是“数少形时少直观”。因此，解决简单线性规划问题的第一个基本功是要能画好二元一次不等式组表示的平面区域，而且要能画准确，并注意其边界的虚实。

画图，对于解决此类问题是至关重要的，但是一些同学却不对此重视，有些同学甚至马马虎虎地应付了事，只画一些简单的草图，这样对解决问题没有丝毫帮助，只会进入结题“误区”。尤其是在解决类似于当可行域的区域边界的直线与目标函数的直线的斜率相近时，这个准确性显得尤其重要，如果没有准确的画图很可能会得出相反的结论。

为让同学们更好理解与运用，在学习中应该理解：在求线性目标函数的最大值与最小值时，所以是通过直线平移时，随之增大或缩小来实现，其原因是中的的最大（最小）值，是一个与直线的截距密切相关的量，但不一定是截距.它将为同学直观理解线性规划的图解法，提供有力的空间图形的支撑。

严谨认知的科学学习方法，这是学好线性规划一个至关重要的前提，是为以后学习下一步知识打下一个厚实的基础。