带有扰动和阻尼项的波动方程的精确能控性
2018-05-30郭利军张建文王银珠
郭利军，张建文，王银珠
(1.太原理工大学 力学学院，太原 030024；2.太原科技大学 应用科学学院，太原 030024)
在过去的几十年里，精确能控性问题受到相当多学者的关注，并且取得了许多研究成果，文献[1]研究了偏微分方程的控制和稳定问题，用HUM(希尔伯特唯一性方法)研究波动方程精确能控性首次出现在文献[2].文献[3]详细地介绍用乘子法讨论线性系统的稳定性和精确能控性，文献[4]用黎曼几何讨论了变系数波动方程的精确能控性，也有一些学者讨论非线性方程的能控性问题如文献[5-6]，文献[7]证明了阻尼足够小的情况下波动方程的精确能控性，受以上成果的启发我们讨论一类带有扰动项和阻尼项的波动方程的精确能控性。
(1)
在陈述主要结果之前，先介绍几个与证明有关的几个引理。
引理1[10]如果M是带边的紧流形,X是M上光滑的向量场,v是M边界上指向外部的法向量,则下式成立,
(2)
引理2[10]如果M是带边的紧流形,u是光滑函数,X是M上光滑的向量场,v是M边界上指向外部的法向量,则下式成立,
(3)
引理3[10]如果M是带边的紧流形,对于u,υ∈C∞(M),下式成立,
(4)
1 主要结果
y(T)=w0和y'(T)=w1.
(5)
记号L,P0,λ的含义将在证明中给出,为了简化一些计算,让w0=w1=0,这样,将证明系统(1)是精确零控的。事实上,对于部分波动方程来说,精确能控和精确零控是等价的。
由于间接处理精确能控问题比较容易,因此考虑系统(1)的对偶系统
(6)
接下来,考虑
(7)
有解y,且(y,y')∈L2(Ω)×H-1(Ω).
(8)
〈，〉被定义为〈(f1,f2),(g1,g2)〉L2(Ω)×L2(Ω)=(f1,g1)L2(Ω)+(f2,g2)L2(Ω).
现在,为了简化不等式(8),需定义系统(6)的能量为：
(9)
令
(10)
易证存在C>0,使得
E0(t)≤E(t)≤CE0(t) .
(11)
因为
因此E(t)≥E(0)；另一方面,
故有
E(0)≤E(t)≤e2Q tE(0),0≤t≤T.
(12)
易证存在正的常数C1,C2使得,
C1E0(0)≤E0(t)≤C2E0(0),0≤t≤T.
(13)
按照〈，〉的定义,则有
(14)
根据系统(7),y(T)=0,y'(T)=0,
(15)
(16)
通过式(10)能得到以下等式。
(17)
结合式(14)-式(17),可以把不等式转化成以下形式：
(18)
为了证明不等式 (18),将用到以下记号：
对于固定点x0∈Rn,令
〈·〉这里表示Rn中的内积,v是边界Γ上指向外部的法向量。
现在首先考虑不等式(18)的右边,并且得到如下结果。
(19)
证明：用H(u)乘以u",然后在(0,T)×Ω上积分
(20)
用H(u)乘Δu-p(x)u+q(x)u',利用引理1和引理2,可以推导
(21)
接下来,在(0,T)×Ω上积分
(22)
利用u"-Δu+p(x)u-q(x)u'=0,有
(23)
用u乘u"=Δu-p(x)u+q(x)u'利用格林公式,得到如下形式,
然后在(0,T)×Ω上积分,再重新组合,有
(24)
把等式(24)插入式(23)当中,得到
〈H·v〉)dΓdt=[(u'(u',u)
(25)
作为结果,则有下列等式
(26)
另一方面,缩减式(25)的左面,得到如下不等式。
(27)
结果
(28)
(29)
(30)
利用不等式(28)-(30),放大不等式(27)的右边,能推断如下不等式
(31)
根据式(13),让
不等式(19)成立。
然后考虑不等式(18)的左边,为了方便,给出如下概念,
λ0是使
(32)
成立的最大常数
令
(33)
不等式(18)的左边被详细地陈述如下。
当T≥T0时，系统(6)的解满足不等式
(34)
证明：重新组合等式 (25),缩减它的右边,扩大它的左边,得到如下不等式
(35)
现在,首先考虑
参考式(32),当n≥2时，
(36)
当n=1时,
(37)
结合式(33),可以得到如下不等式
(38)
(39)
(40)
(41)
2 定理1的证明
〈Λ(u0,u1),(U0,U1)〉L2×H-1=0 .
(42)
(u1,y1)L2(Ω)=〈(u0,u1),J(y0,y1)〉L2(Ω)×L2(Ω).
(43)
(44)
：
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