基于尖点突变模型的采空塌陷地表裂缝形成机理

于秋鸽，张华兴，邓伟男

(1.煤炭科学研究总院开采研究分院，北京 100013；2.天地科技股份有限公司开采设计事业部，北京 100013)

0 引言

深部煤层开采，当基岩采厚比>30时，地表一般呈现连续变形特点[1]；随着我国东部煤炭资源枯竭，煤炭开采重心逐步向西部转移，西部煤层开采具有浅埋深大采高特点，开采强度较大，采动影响容易直接波及到地表，造成地表裂缝。地表裂缝是造成土地生产能力下降、引起山区滑坡的主要原因之一，是采煤沉陷对地表环境损害最直观的表现形式[2-3]。为了研究不同地质采矿条件下地表裂缝形成的机理及其规律，吴侃通过建立实用裂缝深度发育模型，从理论上推导出了裂缝发育的深度[4]；胡振琪等[5]研究发现风积沙区地表裂缝分为永久裂缝和动态裂缝，动态裂缝具有自我修复功能；李永树等[6]通过土体剪切实验分析了厚冲击层条件下的地表裂缝形成机理得到裂缝宽度与水平变形之间的关系；胡青峰等[7]通过现场实测研究了厚煤层开采时地表裂缝形成的机理，发现厚硬基岩对采动引起的应力应变传递具有消减作用。

工作面上覆岩层由基岩和松散层两部分组成，在开采过程中，随着工作面的推移，靠近工作面的上方软弱岩层直接断裂垮落，比较坚硬岩层产生弯曲下沉，支撑上方岩层的大部分重量，在坚硬岩层断裂之前，地表下沉值比较小，当工作面推进长度达到一定值后，坚硬岩层突然发生断裂，地表下沉急剧增加，当松散层厚度无法消减地表不均匀沉降时，将会在地表产生裂缝。本文把断裂前的关键层近似为固支弹性梁，把断裂后的岩层近似为“砌体梁”，建立地表沉降的尖点突变模型，研究了地表塌陷型裂缝与关键层断裂步距之间的关系。

1 尖点突变理论

突变思想是在1972年由法国数学家Thom提出的，后来由英国数学家Zeeman将其定义为“突变理论”。突变理论提出以后很快应用到各个学科，如生物学、岩石力学、心理学等，并很好的解释了自然中的各种突变现象。突变理论的特点是控制变量连续变化而结果不连续。在我们所处的四维时空中，当控制变量小于等于4时，最多有7种突变形式[8-9](表1)。

表1 突变形式分类表

在这七种突变形式中最常用的为尖点突变模型，见图1。

图1 平衡曲面和控制变量平面Fig.1 The equilibrium curved surface and control variable plane

应用尖点突变模型处理工程问题时的步骤为：

(1)根据工程结构建立力学模型，进行受力分析；

(2)根据工程结构变形情况，求出系统的总势能，并将其转化为尖点突变模型的标准势函数形式：

V(x)=x4+ux2+vx

(1)

(3)对V(x)求导，得到平衡曲面M的方程：

(2)

(4)对平衡曲面M的方程进行求导，从图1中可以看出：当u≤0时，平衡曲面M分为上、中、下三叶。在上叶、下叶上有12x2+2u>0；在中叶上有12x2+2u<0。在平衡曲面上作出M的所有垂直切线，与控制变量平面C相交，相交得到的点集为分差集。平衡曲面M上能够垂直向下作切线的点集满足方程：

(3)

联立(2)、(3)式消去x得到控制变量平面上的分叉集方程：

8u3+27v2=0

(4)

由上述分析可知：在平衡曲面M的上叶和下叶上，势函数V(x)取极小值，系统处于平衡状态；在中叶上，势函数V(x)取极大值，处于不稳定状态。当系统处于上叶和中叶过渡位置时，稍微受外界扰动，系统平衡位置就会立即变到下叶的某一处，使系统重新处于新的平衡状态。系统由上叶的平衡状态转为下叶的平衡时，会在中叶处产生一个尖点，这也是尖点突变的由来，同时可以得到系统发生尖点突变的充分条件应满足式(4)。

2 关键层断裂突变模型

2.1 关键层初次断裂突变模型

煤层采出以后，工作面上方软弱岩层直接垮落，在关键层断裂前，关键层可以近似看成宽度为单位1的固支梁[10]。固支梁上部承受上覆岩层重量，相当于均布载荷q=γH0；下部由于软弱岩层已经垮落，不在承受力的作用；固支梁两端承受水平压力Fs，垂直向上的支撑力Fr。坚硬岩层所承受的水平压力主要来自于上覆岩层重力产生侧向压力，虽然坚硬岩层下方岩石已垮落，坚硬岩层下方岩层中的原岩应力受到破坏，但是在坚硬岩层断裂前，坚硬岩层及其上方覆岩中的应力没有得到释放，可近似认为坚硬岩层两端的水平压力是由上方岩层重力产生的侧向应力引起，受力示意图如图2所示。

图2 固支梁模型Fig.2 Clamped beam model

根据受力平衡，可知：

(5)

式中：Fs——水平挤压力/kN；

Fr——垂直向上支撑力/kN；

λ——侧压系数；

H0——坚硬岩层所处深度/m；

h——坚硬岩层厚度/m；

γ——坚硬岩层上方岩层的平均容重/(kN·m-3)。

在力的作用下，固支梁将产生弯曲，梁弯曲的挠线方程可近似为[11]：

(6)

式中：L梁——梁长/m；

δ——x=L梁/2处的挠度。

在尖点突变理论中需要建立模型的总势能函数，根据弹性力学中应变能和梁的弯曲理论的相关知识，推导出梁弯曲的应变能[12]为：

(7)

式中：E——岩梁弹性模量/Pa；

I——惯性矩/m4。

水平挤压力Fs做功为：

(8)

垂直向上的支撑力Fr做功为：

(9)

均布载荷q做功为：

(10)

从而可以得到岩梁弯曲总的势能函数为：

(11)

在尖点突变理论中，系统的标准势函数满足(1)式，从而得到：

(12)

根据(4)式得到关键层初次断裂的充分条件为：

(13)

2.2 关键层周期性断裂突变模型

当关键层初次断裂后，断裂岩块与未断裂岩层互相铰接，随着工作面推进，关键层周期性断裂，形成“形如梁而实质为拱”的“砌体梁”结构(图3)。

图3 “砌体梁”模型Fig.3 Voussoir beam model

根据尖点突变理论求出砌体梁结构失稳的充分条件为[13]：

(14)

式中：K——岩块挤压变形刚度系数；

K′——冒落矸石变形刚度系数；

h——岩块厚度/m。

3 地表裂缝与关键层断裂步距之间关系

对于浅埋厚煤层而言，工作面上覆岩层结构简单，关键层的断裂将引起关键层上方岩层的整体垮落，在地表形成塌陷型裂缝。塌陷型裂缝与关键层断裂之间的关系见图4。

图4 塌陷型裂缝与关键层断裂示意图Fig.4 Diagram of relationship between collapsing ground fissure and failure of critical layer

根据图4可知裂缝滞后距d和滞后角γ满足：

(15)

由式(15)可知：由于岩层破断角的影响，塌陷型裂缝一般滞后于工作面一定距离，随着关键层的周期性断裂，也周期性形成塌陷型裂缝，裂缝间距为关键层周期性垮落步距；关键层距煤层距离越大，塌陷型裂缝滞后距越大，滞后角γ越大。

4 实例验证

神华集团大柳塔矿12208工作面平均埋深37.5 m，煤层倾角1°～3°，工作面走向长度1 538 m，倾斜长度154 m，采高7 m，平均日进尺10 m。工作面上覆岩层分别为：泥岩、砂质泥岩组成的伪顶，平均厚度0.21 m；泥岩、粉砂岩组成的直接顶，平均厚度5.5 m；细粒砂岩为基本顶，平均厚度11.2 m；地表松散层厚度为7.2 m。煤层开采过程中，在工作面中部地表产生塌陷型裂缝，裂缝滞后角为0.38°[14](图5)。

图5 12 208工作面地表裂缝分布图Fig.5 Distribution of collapsing ground fissures above face 12 208 of Daliuta colliery

根据文献[15]判定细粒砂岩为关键层，关键层下方岩层垮落碎胀系数取1.2，由于1.2×(0.21+5.5)=6.852<(0.21+5.5+7)=12.71，可知岩层跨落后不能充满采空区，故而公式(14)中K′=0。

根据文献[13]K取70 kPa，代入公式(14)求得周期断裂步距为14.9 m，据现场矿压观测，周期来压步距为12～15 m，在工作面中间位置，裂缝平均间距为13.7 m，与利用尖点突变理论计算所得周期断裂步距相差不大，说明采用尖点突变分析关键层初次断裂步距和周期断裂步距是合理的。

5 结论

(1)关键层断裂是造成地表塌陷型裂缝的主要原因，关键层断裂步距决定了塌陷型裂缝之间距离。

(2)地表塌陷型裂缝滞后于工作面一定距离，关键层距煤层距离越大，塌陷型裂缝滞后距越大，滞后角越大。

(3)利用尖点突变理论得到关键层断裂步距，与现场矿压实测关键层断裂步距及地表裂缝间距相符。

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