空间分数阶扩散方程的多项式点插值配置法

危国华

(福建广播电视大学三明分校，福建 三明 365000)

0 引言

近年来，分数阶微积分以及分数阶微分方程在模拟自然界的各种现象中得到了广泛应用[1-4]，随后分数阶微分方程的数值求解也成为研究者们的一个研究热点[5-11]。针对空间分数阶微分方程的数值方法，已有文献采用有限差分方法[12]、有限元方法[13]和谱方法[14]进行处理。在离散微分方程之前，有限差分方法需要对区域利用规则均匀点进行划分，有限元方法和谱方法需要对区域进行划分并生成网格，这些方法使得在处理二维情形时仅限于规则区域上的问题。鉴于无网格方法不需要生成网格，可以方便处理不规则区域，本文首次尝试将其应用到空间分数阶微分方程中，采用多项式基点插值配置法处理带有双侧分数阶导数的空间分数阶微分方程，在数值例子中分别采用等间距节点以及不规则散点离散空间变量，均得到了较好的结果。

本文讨论如下带有双侧分数阶导数的空间分数阶微分方程：

(1)

本文假设空间分数阶微分方程的解满足u(x,·)∈C2(0,T)。

1 离散格式

1.1 多项式点插值

首先，在问题域[a,b]内生成场节点，节点可以随机生成，也可以人工加入节点。设有内部节点x1,x2,…,xd和边界节点x0,xd+1。

对每一个场节点，都做一个包含该节点的支持域，在实际计算中，一般取节点平均间距的2～3倍大小[15]。设第i个节点的支持域为Ωi，支持域Ωi内包含ni个节点xi1,xi2,…,xini。为书写方便，记Di={i1,i2,…,ini}，这也就意味着，当l∈Di时，xl∈Ωi。

接下来在节点的支持域内对函数u(x)及其左侧分数阶导数利用基函数进行插值逼近。为了描述方便，假设计算点x的支持域内包含n个场节点x1,x2,…,xn，连续函数u(x)对应于这些场节点上的函数值分别为u1,u2,…,un。因此，函数u(x)可以由这组场节点近似表示为：

(2)

其中pj(x)(j=1,2,…,m)为空间坐标变量的单项式，被称为多项式基，m是多项式基的个数，aj(j=1,2,…,m)为一组待定常数。通常使用的一维k次完备多项式基为

(3)

其中基函数的个数满足m=k+1。

Us=Pm·a，

(4)

由于n=m，矩阵Pm是n×n维的方阵。由式(4)，有：

(5)

(6)

1.2 全离散格式

接下来离散时间变量，记tn=nτ,n=0,1,…,N，其中τ=T/N为时间步长。全离散格式为：

(7)

2 数值结果

为了避免在计算中产生Runge现象，在每个场节点xi处，取n=6，也就是选择6个临近节点作为其支持域{xl,l=i1,i2,…,i6}，于是k=5，基函数为5次完备多项式基。

先将问题域[0，1]用规则节点xi=ih(i=0,1,2,…,50)划分，采用全离散格式式(7)进行求解(计算中取m=5)，从图1中可以看出，精确解和数值解吻合得很好。表1中列出时间步长变化时，数值解与精确解的误差以及误差阶。

接下来将问题域[0，1]用不规则节点划分，采用全离散格式式(7)进行求解。图2给出此时精确解与数值解，表2列出针对不规则点划分空间变量时间步长变化时，数值解与精确解的误差以及误差阶。可以看出，本文所提出的数值方法仍然适用于不规则点划分。

表1 采用规则点划分求解具有单侧导数的方程的数值解与精确解的误差以及误差阶

τε2order2ε∞order∞1/102.214 9e-002—3.708 8e-002—1/201.131 1e-0020.969 51.894 0e-0020.969 51/405.715 4e-0030.984 99.569 8e-0030.984 91/802.872 7e-0030.992 54.809 9e-0030.992 51/1601.440 1e-0030.996 22.411 3e-0030.996 21/3207.210 1e-0040.998 11.207 2e-0030.998 1

取α= 1.8，分别将问题域[0，1]用规则节点xi=ih(i=0,1,2,…,50)和不规则节点划分，采用全离散格式式(7)进行求解(计算中取m=5)，从图3和图4中可以看出，无论是规则点，还是不等距节点，精确解和数值解吻合得很好。表3和表4给出规则点和不规则点划分空间变量，时间步长变化时的误差以及误差阶。

表2 采用不规则点划分求解具有单侧导数方程的数值解与精确解的误差以及误差阶

τε2order2ε∞order∞1/102.184 1e-002—3.702 5e-002—1/201.115 4e-0020.969 51.890 8e-0020.969 51/405.635 9e-0030.984 99.553 5e-0030.984 91/802.832 7e-0030.992 54.801 8e-0030.992 51/1601.420 1e-0030.996 22.407 1e-0030.996 21/3207.109 6e-0040.998 11.205 1e-0030.998 1

表3 采用规则点划分求解具有双侧导数的方程的数值解与精确解的误差以及误差阶

τε2order2ε∞order∞1/103.867 4e-003—2.838 5e-004—1/201.933 7e-0031.000 01.419 2e-0041.000 01/409.668 6e-0041.000 07.096 2e-0051.000 01/804.834 3e-0041.000 03.548 1e-0051.000 01/1602.417 2e-0041.000 01.774 1e-0051.000 01/3201.208 7e-0040.999 98.870 7e-0061.000 0

表4 采用规则点划分求解具有双侧导数的方程的数值解与精确解的误差以及误差阶

τε2order2ε∞orde∞1/104.883 4e-003—3.073 9e-004—1/202.441 7e-0031.000 01.537 0e-0041.000 01/401.220 8e-0031.000 17.684 3e-0051.000 11/806.102 8e-0041.000 23.841 6e-0051.000 21/1603.050 4e-0041.000 51.920 2e-0051.000 51/3201.524 2e-0041.000 99.594 8e-0061.000 9

3 结论

本文将基于多项式基点插值配置法处理带有双侧分数阶导数的空间分数阶微分方程，在数值例子中分别采用等间距节点以及不规则散点离散空间变量，均得到了较好的逼近结果。但是，由于无网格方法理论上的匮乏，即使在讨论传统的整数阶微分方程时，此方法在空间上的逼近阶数也不能得到保证。由于传统方法在不规则区域上的局限性，在后续工作中，笔者将继续探讨将其应用到二维不规则区域上的空间分数阶微分方程。

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