一种Farrow结构数字延时滤波器的设计*

(中国西南电子技术研究所，成都610036)

1 引 言

数字延时滤波器作为一种用数字运算方法完成延时滤波作用的器件，已经在现代通信中得到了广泛应用[1]。目前，滤波器的分类主要有模拟滤波器和数字滤波器。文献[2]提到的传统模拟延时器，其作用原理是利用不同长度的传输线和切换开关实现延时功能，但无法保证良好的延时精度。而数字延时滤波器可以实现高精度延时，其设计方法主要有时域、频域、混合域设计等。文献[3]和文献[4]分别介绍了数字延时滤波器的时域和频域设计方法，但针对不同的延时值，必须重新设计滤波器系数。在实际环境中，对滤波器的要求是延时值可变，所以，虽然时域或者频域延时滤波器设计实现简单，却无法应对延时值实时可变的要求。文献[5]提出Farrow结构的数字延时滤波器，该延时滤波器无需更新滤波器系数就可以完成对信号延时的实时调整，克服了上述时域和频域设计方法的缺点。文献[6]介绍了Farrow滤波器系数的求解方法，但都需要满足一定条件，较为受限。

本文在假设Farrow滤波器系数对称情况下，采用加权滤波器系数设计方法。这一改进的设计方法，使得在给定的滤波器误差条件下，能够快速设计出满足这一误差要求的滤波器系数，从而完成Farrow滤波器设计。系数设计通过对迭代实现，通过对每次迭代产生的滤波器误差分析，调整不同频率和延时区间的加权值，从而使下一次迭代的结果更接近设计误差要求，最终获得满足误差要求的Farrow滤波器。本方法具有广阔的应用前景，可以应用在如机载相控阵雷达、数字通信等领域。

2 Farrow结构的数字延时滤波器

2.1 Farrow滤波器模型

数字延时滤波器是一个FIR滤波器[7]，假设其阶数为N，则系数矢量可以表示为

h=[h0h1…hN]T，

(1)

而延时为

τ=nTs+Tl。

(2)

即延时包括了n倍的采样周期和一个小于采样周期的值Tl。在数字系统中，延时采样周期的整数倍时间是很简单的，通过时钟控制非常容易。所以，设计一个延时参数小于采样周期的延时滤波器，是滤波器设计的主要工作。这样的延时滤波器，又称为“分数延时滤波器”[8]。定义延时参数

(3)

利用时域和频域设计方法，都可以得到延时滤波器系数矢量h，而且不同的延时τ得到不同的滤波器系数。但相控阵天线的延时参数是实时变化的，为了实现不同的延时则必须重新设计滤波器系数。如果利用FPGA或者DSP平台实现滤波器设计，无论采用时域还是频域设计方法，都无法保证系数更新的实时性。

对于Farrow结构的数字延时滤波器[9]，其基本思想是认为延时滤波器的每个系数都是由延时参数D的M阶多项式构成，即

(4)

根据上述表达式，Farrow滤波器的结构如图1所示。从图中可以看出，只需输入不同的延时参数D，就可以调整滤波器的延时值，而不需要改变参数hnm。

图1 Farrow滤波器结构图Fig.1 Structure diagram of Farrow filter

采用基于对称系数的滤波器系数求解方法时[10]，重新定义Farrow滤波器的系数矢量为

c=[c-N…cN]T，

(5)

(6)

同时，延时滤波器设计为一个低通滤波器，则通带范围为[0,απ]，其中0<α<1 。

2.2 Farrow滤波器设计目标

首先，依据延时滤波器的定义，理想延时滤波器的系统函数幅频特性为[11]

H(ω,D)=e-jωD。

(7)

而在Farrow结构下，延时滤波器幅频特性为[12]

(8)

此时重新定义一个加权误差函数

(9)

上式中的误差函数

E(ω,D)=C(ω,D)-H(ω,D)

(10)

是一个非负函数，满足如下两个性质：

W(ω,D)=W1(ω)W2(D),

(11)

W(ω,-D)=W(ω,D) 。

(12)

根据上述定义，Farrow滤波器的设计过程就是在已知信号带宽参数απ和延时参数D基础上找合适的系数集合c，也就是c(n,m)，使得函数J(c)具有最小值。

3 Farrow滤波器的系数求解

3.1 基于对称系数的Farrow滤波器设计方法

可以证明的是，Farrow滤波器的系数具有对称性[13]，并且有结论

(13)

c(0,m)=0 oddm。

(14)

把系数对称这一结论代入Farrow滤波器的幅频特性函数可以得到

C(ω,D)=aTBepe-jbTBopo。

(15)

式中：

a=[1 cos(ω) … cos(Nω)]T,

(16)

b=[1 sin(ω) … sin(Nω)]T,

(17)

(18)

(19)

其中：

(20)

把上述结果代入误差函数，并考虑权函数具有共轭特性，相应的加权误差函数

(21)

相比于式(9)，延时参数D的积分界变为[0,0.5]，因此求c(n,m)的过程转化为求解J(Be,Bo)最小情况下矩阵(Be,Bo)的过程。

通过变换误差函数，加权误差函数可以表示为

(22)

式中：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

其中：

pe=[D0D2…DM-1]T,

(29)

po=[D1D2…DM]T。

(30)

只要权值已知，上述各式都是可以求解的，其中矩阵A2、A3、A4和A5是对称和正定的，它们可以通过Cholesky分解被分解为上三角矩阵U2、U3、U4和U5[14]。

最后，根据Lagrange乘子算法[15]，对J(Be,Bo)求导数并令为0，则可以得到

(31)

而根据前文定义，就可以确定c(n,m)的值，从而完成滤波器设计。

3.2 权值确定方法

权值的确定是求解Farrow滤波器系数必不可少的环节。权值选取得是否合适，要通过设计所得Farrow滤波器的性能进行判断和调整。一种描述Farrow滤波器性能的指标是误差，即把设计出来的滤波器幅频特性C(ω,D)同理想滤波器特性H(ω,D)进行幅度和群时延进行比较。具体而言，定义幅度和群时延最大误差分别为

εAmax=max{20lg|E(ω,p)|},ω∈[0,επ],D∈[-0.5,0.5]；

(32)

εDmax=max{|τ(ω,D)-D|},ω∈[0,επ],D∈[-0.5,0.5]。

(33)

式中：τ(ω,D)表示设计所得滤波器C(ω,D)的群时延。在开始设计时，通常会把权值取为

W1(ω)=W2(D)=1，

(34)

然后按照前文介绍的方法计算滤波器系数，再把设计出的滤波器特性代入式(32)～(33)进行性能判断。如果满足设计要求，则无需改变权值；如果不满足要求，则找出不满足要求的频段，把权值进行分段设置。不满足设计要求的频段取比1大的权值，满足设计要求的频段取比1小的权值。重新设计滤波器系数，并再次进行性能判断。重复这样的操作，直到滤波器性能满足设计要求。权值分段函数形式为

(35)

(36)

4 仿真结果

4.1 Farrow滤波器延时效果

仿真采用5个阵元的线阵结构。接收信号的射频频率和中频频率分别为2 GHz和400 MHz，采样率为1.25 GHz。基于Farrow结构的延时滤波器，滤波器的阶数设置为N=34、M=7。频域分为[0,0.88π]和[0.88π,0.9π]两段，延时参数分为[0,0.4]和[0.4,0.5]两段，同时对应的权函数为

(37)

(38)

仿真结果如图2所示。图2(a)中实线和虚线分别表示第1个和第5个阵元接收信号的时域波形图。我们使用设计好的Farrow滤波器对两个阵元的信号进行延时处理，得到的输出信号如图2(b)所示。从图中结果可以看出，两路信号经Farrow滤波器延时后达到很好的同步效果。这意味着设计出的Farrow滤波器延时性能良好，本设计方法是有效的。

(a)滤波前时域波形

(b)滤波后时域波形图2 Farrow滤波器延时效果Fig.2 The delay perfomance of Farrow filter

4.2 Farrow滤波器权函数确定方法

将滤波器的阶数设置为N=34、M=7，频域划分为[0,0.88π]和[0.88π,0.9π]两段，延时参数划分为[0,0.4]和[0.4,0.5]两段。其中，频率[0,0.08π]和延时[0,0.4]是我们期望信号所在的区间，定义误差门限εAmax为-105 dB。

首先，采用如下权值定义:

(39)

(40)

按照前文介绍的滤波器系数计算方法，可以得到如图3所示幅度误差图形，图中观测数据为期望区间内的误差最大值点。

图3 初始权值Farrow滤波器幅度误差Fig.3 Magnitude errors of Farrow filter with initial weights

从图3可看出，很多期望区间里面，误差值都大于-105 dB的阈值要求。为此，增加期望区间内权值如下：

(41)

重新计算滤波器系数，得到如图4仿真结果。可以看出，期望信号区间内的误差都小于-105 dB，满足误差要求。这表明，本文关于权值的确定方法是有效的。

图4 改变权值后Farrow滤波器幅度误差Fig.4 Magnitude errors of Farrow filter with changed weights

然后考虑滤波器的群时延误差。首先设置群时延误差门限εDmax为2.1×10-4，按照式(39) 和式(40)定义初始权值，群时延误差曲线如图5所示。从图中看出，在期望信号区间内，很多值都超过了这个门限。于是，修改权值为

(42)

根据前文权值设计方法，增加期望信号区间内的权值，重新设计滤波器，得到如图6所示群时延误差曲线。此时，在期望信号区间内，误差均小于门限值，达到设计要求，从而说明权值设计方法的正确性。

图5 初始权值Farrow滤波器时延误差Fig.5 Delay errors of Farrow filter with initial weights

图6 改变权值后Farrow滤波器时延误差Fig.6 Delay errors of Farrow filter with changed weights

4.3 Farrow滤波器延时精度与阶数的关系

Farrow滤波器的延时精度也决定于滤波器设计过中的阶数N和M。输入信号s(t)分别采用1.5 GHz和0.3 GHz点频信号，取D=0.3，采用不同阶数的Farrow滤波器，得到输出信号y(t)。定义误差为

e(t)=|y(t)-s(t-τ)|，

(43)

最终得到如图7和图8的结果。可以看出，无论是增加阶数N还是M，都可以减小延时误差，但增加到一定数量，误差减小不再明显。另一方面，相同阶数下，低频信号输入下的误差比高频信号输入下的误差更小，说明延时误差和带宽也有关系。

图7 Farrow滤波器延时精度与阶数N的关系Fig.7 Delay accuracy with Farrow filter versus filter order N

图8 Farrow滤波器延时精度与阶数M的关系Fig.8 Delay accuracy with Farrow filter versus filter order M

5 结 论

鉴于数字延时滤波器广泛的应用需求和前景，本文给出了一种Farrow结构的延时滤波器设计方案及相应的加权系数求解方法。经过理论分析与仿真验证，该方案具有灵活、可靠、精确的分数延时效果，能够在降低计算量的同时满足延时可变的要求。实际工程要求滤波器系数的计算时间远远小于延时更新时间，而Farrow滤波器结构的采用很好地解决了滤波器系数更新的问题。得益于滤波器系数的加权优化，在误差较大的区间内定义一个较大的正数权值，这样就可以减小该区间的误差，只不过这是牺牲其他较小误差区间的滤波器性能得到的，但可以根据实际条件，均衡时域和频域内的误差量化，使Farrow滤波器到达最优效果。

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