一类森林病虫害传染病模型研究

杨婉君，罗 勇，胡亦郑

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

松材线虫病是关于松属树种的一种森林病害，其危害范围十分广泛，且严重影响了森林经济发展，通过建立数学模型来研究该病发展和控制的研究较少．目前对松材线虫病的治理措施主要为移除染病树木[1-3]，王爱丽[4]将其建立模型并进行讨论．日本提出[1]补种抗病树种的方法，效果也较为显著．本文将两种措施结合起来，根据相关知识建立新的Filippov传染病模型，运用阈值策略将染病松树的数量降到经济阈值以下，并讨论了其滑线系统以及各类平衡点的存在性和平衡点的分支现象．

1 模型的建立和预备知识

1.1 害虫治理SI模型的建立

文献[4]将易感松树和染病松树的数量作为指标，建立了关于松材线虫病的传染病模型，如下

其中S和I分别表示易感松树和染病松树在t时刻的种群数量，b,d分别表示正常松树的种植率和采伐率，β为传染率，1μ表示因病死亡率，表示染病松树的移除比率．该模型采用移除染病树木的方法将染病松树数量降低到经济阈值以下[5]，日本在松材线虫病的防治上采取砍除染病松树后补种抗病树种的策略．

根据实际效益与人力实施难度，建立下面的SI模型：

其中．这里μ为因病死亡率，p为移除染病松树的比率，q为根据移除染病松树的数量来补充抗病树种的比率．这里

令其中，那么模型（2）可记为

其中

另外表示分割两个区域和的边界．这里其中是的梯度．

我们称Filippov系统（3）中定义在中的部分为子系统（即自由系统），其定义在中的部分为子系统（即控制系统[6]）．

1.2 预备知识

下面介绍文中一些相关定义[7]．

定义1 若称为系统（3）的滑线系统．

定义2 若P∈ ∑-且X(P)=0 ，或若P∈ ∑+且Y(P)=0 ，则称P为系统（3）的真平衡点；若P∈ ∑-且Y(P)=0 ，或若P∈ ∑+且X(P)=0 ，则称P为系统（3）的假平衡点[7]．

定义3 在滑动系统上，局部轨线是通过Filippov系统凸组合定义的，考虑函数

其中P∈∑，若Zs(P)=0 ，则称P为系统（3）的伪平衡点．

定义4P∈∑，若HX(P)=0 ，或HY(P)=0 ，此时称P为系统（3）的切点．

定义5P∈∑，若X(P)=0 ，或Y(P)=0 ，此时称P为系统（3）的边界平衡点．

2 平衡点的存在性以及稳定性分析

2.1 真、假平衡点的存在性及稳定性

首先通过分析X(P)=0与Y(P)=0的解的存在的条件和分布情况，可知真、假平衡点的存在性．

定理 1 子系统 ∑-始终存在两个平衡点，零平衡点O(0,0)，地方病平衡点；若b＜ βET- μ +d，则即E1为真平衡点，记为否则记为

定理 2 若 μ +p-q＞ 0 ，则子系统 ∑+存在两个平衡点，零平衡点O(0,0)，平衡点若，则即E2为真平衡点，记为，否则记为

选取系数b和ET作为分支参数[8]，固定剩余参数，得到如下定理：

定理3 Filippov系统（3）的平衡点有

1）若，则两个真平衡点共存；

3）若，则系统（3）存在唯一的真平衡点

4）若，则两个假平衡点共存．

2.2 平衡点的稳定性

下面讨论平衡点的局部稳定性以及全局稳定性[9]．

定理4 在子系统 ∑-中O是鞍点，E1是中心型奇点；在子系统 ∑+中O(0,0)也为鞍点．对于点E2，若，则E2为稳定的结点；否则E2为稳定的焦点．

证明：在文献[4]中子系统 ∑-内O是鞍点，E1是中心型奇点已说明．子系统 ∑+的Jacobian矩阵为

易证O仍是鞍点，将E2代入J2(S,I)中，得到特征方程

由于显然成立，那么

若成立，则有δ＞0，此时E2为渐近稳定的结点；否则有δ ＜ 0，此时E2为渐近稳定的焦点．

下面来证明平衡点E1和E2在系统（3）上是全局稳定的．

定理5 1）地方病平衡点E1在上是全局渐近稳定的；

2）若 μ +p-q＞ 0 成立，则平衡点E2在也是全局渐近稳定的．

证明：对于E1，区域显然为单连通区域，令

定义Dulac函数于是有

故由文献[6]的P170定理12.2.5知，子系统 ∑-在内不存在闭轨（极限环），因此地方病平衡点E1在上是全局渐近稳定的．

对 于E2， 令g1=bS- βSI-dS+qI,g2=βSI- μI-pI． 同 样 定 义 Dulac函 数于是有

故子系统 ∑+在内不存在闭轨(极限环)，于是平衡点E2在也是全局渐近稳定的．

2.3 滑线系统及伪平衡点的存在性

首先，滑线系统的存在性需满足HX(P) ≥ 0 ,HY(P) ≤ 0 ，通过计算有

要使HX(P) ≥ 0 ，则有；要使 ()0HY P≤ ，则有．故系统（3）的滑线系统存在，为

下面讨论伪平衡点的存在性，当P∈∑时，有

令ZS(P)=0 ，则Φ(I)=0，即整理得

从而有如下结论：

定理 6 若，则滑线系统有两个伪平衡点，分别为 (ET,I1)，(ET,I2)．

3 边界平衡点及切点的存在性

Filippov系统（3）的边界平衡点[10]满足X(P)=0或Y(P)=0 ，其中P∈∑，也即．故Filippov系统（3）有两个边界平衡点，分别为

Filippov系统（3）的切点满足P∈∑，且HX(P)=0 或HY(P)=0 ，也即(b-d)ET-(b-d+μ )I=0 或(b-d)ET- (b-d+μ +p-q)I=0 ，故Filippov系统（3）有两个切点，分别为

为了更好地分析真假平衡点的存在性，选取参数b和ET作为分支参数，按下列直线划分参数空间[11]：

选取参数为b=0 .6,β=0 .3,μ=0 .45,p=0 .55,q=0 .7，四条直线将参数空间划分为几个区域，并标识出真、假平衡点的存在性和共存性，见图1．

图1 Filippov系统（3）平衡点的存在性Fig 1 Existence of Equilibrium Point for Filippov System (3)

4 小 结

本文把易感松树和染病松树的总数作为经济阈值，研究了Filippov系统（3）的真、假平衡点的存在性与稳定性，滑动系统的存在性、伪平衡点的存在性等．在文献[9]中松树的经济阈值也具有线性特点．目前国内对松材线虫病的主要治理措施是移除染病松树，同时温州也是松材线虫病的高发区，因此做好松材线虫病的各种防范对森林经济效益的提高有一定的积极意义．

参考文献

[1]何龙喜，吉静．世界松材线虫病发生概率及防治措施[J]．林业科技开发，2014，28（3）：8-13．

[2]张彦龙．无公害技术防治松褐天牛控制松材线虫病研究[D]．北京：中国林业科学研究院，2012：84-91．

[3]李兰英．浙江省松材线虫病环境影响经济评价与治理研究[D]．北京：北京林业大学，2006：11-55，146-152．

[4]王爱丽．Filippov传染病模型在森林病虫害中的治理应用[J]．河南科学学报，2014，32（7）：1177-1180．

[5]从继光，刘兵，康宝林．关于一类害虫治理流行病Filippov模型的动力学性质分析[J]．生物数学学报，2013，28（4）：617-622．

[6]肖燕妮，周义仓，唐三一．生物数学原理[M]．西安：西安交通大学出版社，2012：267-270．

[7]尚晋，刘兵，康宝林．一个两阶段结构害虫治理Filippov模型的动力学性质研究[J]．生物数学学报，2013，28（3）：485-492．

[8]唐光耀．Filippov非光滑生态系统的分支分析[D]．西安：陕西师范大学，2015：15-42．

[9]王永存，刘兵，康宝林．一类具有Holling Ⅱ反应的害虫治理的Filippov模型的研究[J]．生物数学学报，2015，30（1）：63-68．

[10]邢倩．非光滑Filippov阶段结构害虫增长模型研究[D]．西安：陕西师范大学，2013：11-19．

[11]Tang S Y, Liang J H, Xiao Y N, et al. Sliding bifurcations of Filippov twostage pest control models with economic thresholds [J]. SIAM J Appl Math, 2012, 72(4): 1061-1080.