Besov空间到Zygmund型空间上的加权微分复合算子

陈 伟，许 毅

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325800)

设为复平面C上的单位圆盘，是C上的闭单位圆盘，H（D）表示D上解析函数全体．

如果存在正数a,b（0＜a＜b）和t0∈［0, 1）满足：在上单调递减，且在上单调递增，且．则称上的正连续函数是一个正规函数[1]．

若函数是正规的，总是指它是径向的，即设0＜p＜∞，-1＜q＜∞，若函数f满足，且

其中 dA（z）是D上的Lebesgue测度，称f属于Besov空间Bp,q．当p=2时，B2,q=Dq是加权Dirichlet空间；由文献[2]知，当 1 ＜P＜∞时，Bp,p-2=Bp为解析Besov空间Bp,q，且Bp是Bloch空间B的一个子空间，另由文献[2]的定理4.28得当p＞0时，是Bergman空间．

设μ是正规的，令：

则称为Zygmund型空间．

如果取可以得到经典的 Zygmund空间．设是微分算子，即对于，有，规定

定义加权微分复合算子为：其中，φ是D上的一个非常值的解析自映射．

若n=0，则就是加权复合算子

若u（z）≡1，加权复合算子uCφ就是复合算子Cφ，参见文献[5-6]．对于Hardy空间到Zygmund型空间的加权微分复合算子的有关结果可参考文献[7]．对于Besov空间到Zygmund空间的加权复合算子的有关结果见文献[8]．

本文推广了文献[8]的结果，考虑Besov空间到Zygmund型空间上的加权微分复合算子的有界性及紧性，得到

定理1 设u∈H（D），φ为D上非常值的解析自映射，且 0 ＜p＜∞, -1＜q＜∞，则加权微分复合算子为有界算子的充分必要条件是

定理 2 设，φ为D上非常值的解析自映射，且 ,0＜p＜∞ -1＜q＜∞，则是紧算子的充要条件是有界算子，且

在无其他说明的情况下，以下均假设C表示与z,w等无关的正常数，且在不同的地方可以表示不同的常数．

1 定理1的证明

在证明定理1前，需要用到下述引理：

引理1[9]设则有

1.1 定理1充分性的证明

若（1）式 - （3）式成立，对于z∈D及根据三角不等式和引理1，有

另一方面

由（7）式 - （9）式得是有界的．

1.2 定理1必要性的证明

设是有界的，即存在常数C，使得

固定ω∈D，取函数

不难验证且

经计算可得

所以

由（14）式可知得

若选择检验函数，由算子的有界性可知

因此

由（15）式和（16）式可得（1）式成立．对（2）式和（3）式，可分别考虑函数

不难验证

分别取检验函数，类似（1）推理可得．

2 定理2的证明

在定理2的证明中需要用到如下引理．

引理2 设φ为D上非常值的解析自映射是紧算子的充分必要条件是是有界算子，且对于Bp,q中在D上内闭一致收敛于0的有界函数序列

引理2可由文献[5]中的命题3.11证明．

2.1 定理2充分性的证明

若是有界算子，且（4）式- （6）式成立，根据引理2只需证明若成立对Bp,q中任意有界序列在D的紧子集上一致收敛于0，则

不妨设，由（4） - （6）式知，对于任给的ε＞0，存在，使得当时，有

因为fk在D的紧子集上一致收敛于0，由Weierstrass定理可得在D的紧子集上也一致收敛于0，利用的有界性及定理1得到（1）式 - （3）式成立，因此存在，使得当时，有

利用（19）式 - （20）式可得时，有

因此是紧的．

2.2 定理2必要性的证明

设是紧的，则有界．设是Bp,q中的一个点列且满足，取检验函数，这里的fk为（10）式中所定义的函数．

由（11）式- （13）式推出

对于有

所以，fk在D的紧子集上一致收敛于0．由的紧性及引理2，结合（21）式得

由此当时，得

因此（4）式成立．

为了证明（5）式和（6）式，可分别取检验函数，此处gk，hk分别为（17）式、（18）式中所定义的函数，类似（4）式可证，此处略去．

参考文献

[1]Shields A, Williams D. Bounded projections, duality, and multipliers in spaces of analytic functions [J]. T Am Math Soc, 1971, 162: 287-302.

[2]Zhu K H. Operator theory in function spaces [M]. 2nd ed. Boston: American Mathematical Society, 2007: 65-132.

[3]Li S, Stevic S. Weighted composition operators from Zygmund spaces into Bloch spaces [J]. Appl Math Comput,2008, 206(2): 825-831.

[4]Stevic S. Weighted differentiation composition operators from mixed-norm spaces to weighted-type spaces [J]. Appl Math Comput, 2009, 211(1): 222-233.

[5]Cowen C, MacCluer B. Composition operators on spaces of analytic functions [M]. Boca Raton: CRC Press, 1995:3593-3612.

[6]韩秀，徐辉明．Besov空间和Zygmund空间上的复合算子[J]．数学研究，2009，42（3）：310-319．

[7]刘永民，于燕燕．从Hardy空间到Zygmund-型空间的加权微分复合算子[J]．数学年刊A辑（中文版），2014，35（4）：399-412．

[8]刘超，侯晓阳．Besov空间到Zygmund空间上的加权复合算子[J]．纯粹数学与应用数学，2016，32（2）：197-205．

[9]韩秀．几类全纯函数空间上的加权复合算子[D]．金华：浙江师范大学数理与信息科学学院，2009：10-12．