可处理负数据的超效率数据包络分析模型

刘 越，林瑞跃

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

自1978年由美国著名运筹学家Charnes等[1]提出数据包络分析（Data Envelopment Analysis，简称DEA）方法以来，该方法已经在许多领域得了到成功应用和快速发展[2-4]．传统的DEA方法是根据所有决策单元（Decision Making Unit，简称DMU）的投入和产出数据，采用变化权重的方法对同类DMU进行有效性评价．在传统的DEA方法中，至少存在两大不足：其一，由于传统模型求得的所有有效DMU效率值的分值都为1，从而不能辨识这些有效DMU之间的优劣；其二，传统模型假设所有的投入和产出数据都是非负的，然而在现实生活中，可能存在诸多投入和产出数据为负数的情况，例如在对某银行的分行进行绩效评价时，增长客户的数量、增长存款资金等数据都有可能是负数．

传统DEA的上述缺点严重制约了其应用范围，针对传统DEA模型不能为所有有效DMU之间进行排序的问题，Andersen等[5]提出了超效率DEA模型去解决有效DMU之间的排序问题．投入型（产出型）的超效率模型是将被评价的DMU与除了该DMU以外的所有DMU进行比较，从而在该DMU有效时，获得大于等于1（小于等于1）的超效率值．超效率模型在固定规模收益（Constant Returns to Scale，简称CRS）条件下通常为可行的，然而该方法在可变规模收益（Variable Returns to Scale，简称VRS）条件下可能会发生不可行问题．

为了解决超效率模型的不可行问题，诸多学者提出通过修改超效率模型的约束条件来修正超效率模型．近年来，方向距离函数（Directional Distance Function，简称DDF）被广泛应用于解决超效率模型的不可行问题．Ray[6]基于DDF方法构造了VRS条件下的Nerlove- Luenberger（简称N-L）超效率模型，同时指出N-L模型在2个特殊情况下仍不可行．Chen等[7]通过预先设定方向向量，解决了N-L模型中的不可行问题．Lin和Chen[8]发现Chen等[7]的模型在产出中存在零数据时也存在不可行问题．通过采用适当的方向向量，Lin和Chen[8]提出一个新的基于DDF在VRS条件下的超效率模型，使得模型总是可行的．

与传统DEA模型类似，现有的超效率模型并不能处理负投入产出数据的问题．为了处理传统DEA模型中的负投入产出数据，Portela等[9]提出可处理负数据的范围距离模型（Range Distance Model，简称RDM）．Sharp等[10]则基于SBM（Slacks Based Model）模型构造了可有效处理投入产出中负数据和零数据的MSBM（Modified Slacks Based Model）模型．Emrouznejad等[11]将投入产出指标一分为二，通过增加指标的个数消除负数据．然而以上的这些可以处理负数据的 DEA模型是基于传统DEA模型构造的，不能对所有有效DMU进行完整的排序．

本文基于DDF的方法，通过选择恰当的方向向量，构造可处理负数据的超效率模型，旨在同时解决DEA模型中出现的上述两大缺陷，使得无论投入和产出数据是正是负，模型总是可行的．

1 基于DDF的VRS超效率模型

假设有n个DMU，我们用DMUj(j=1,… ,n)来表示第j个DMU，其第i项投入表示为第r项产出表示为不失一般性地，我们假设至少存在一项投入使得假设至少存在一项产出使得由生产可能集需满足的凸性公理和无效性公理，对于被评价的DMUk，其VRS条件下的超效率生产可能集定义如下：

假设被评价DMUk(k∈ { 1,… ,n})的投入产出数据集为(xik,yrk)，再假设一组方向向量，那么建立在T上的方向距离函数为：

是一组非负且不为零的向量，其选取方式任意．为了构造可处理负数据的超效率模型，构建如下方向向量：

并得到如下方向距离函数：

基于方向距离函数（1），构建如下模型来评价DMUk(k∈ { 1,… ,n})的超效率：

假设β*为模型（2）的最优解，则有如下定理：

定理 1 模型（2）总是可行的，且当时，*0≤β ≤1；当时，-1≤ β*＜0 ．

证明：以下将分别讨论如下两种互补的情况．

情况1

此时在满足的条件下，有和成立．由（2）式和以上不等式的约束条件可知β=0是模型（2）的一个可行解，又因为模型（2）的目标函数是求最大化β的值，故β*≥0．

成立，因此有β*≤1．

综合以上分析可知，当时，有*0≤β ≤1成立．

情况2

此时存在使得成立，或者存在使得成立．

当存在使得成立时，由于则必有成立，那么由模型（2）的投入约束可知

因为对于有，那么当存在使得成立时有

根据（4）式和（5）式可知(xik,yrk)∉T时，有β*＜0成立．

另一方面，对于所有满足的投入，有

成立．

又因为成立，则可得

那么有

模型（3）的目标函数是求最大化β的值，由（6）式和（8）式可知β*≥-1成立．

故当(xik,yrk)∉T时，有 - 1≤ β*＜ 0 ．

2 数例分析

为了检验模型（2）在实际应用中处理负数据的能力及能否对所有DMU进行完整排序，采用Sharp的一组处理污水的数据集[10]．该组数据见表1，有13个DMU，其中的2项投入分别为成本和废水量，3项产出分别为可销售量、二氧化碳量和沼气量，该数据集中含有多个负数据及零数据．将模型（2）应用于该数据集，得到如表2第6列的效率值．显而易见，模型（2）没有出现不可行问题，这一点验证了定理1．

表1 污水处理数据Table 1 Sewage Treatment Data

表2 污水处理数据的效率值Table 2 Efficiency Value of Sewage Treatment Data

选用Sharp等[10]的可处理负数据的MSBM模型与我们的模型（2）所求结果做对比（见表2），发现两个模型都判定DMU3，DMU7，DMU8，DMU11和DMU13这5个DMU为有效的．然而，MSBM模型生成的所有有效DMU的效率值均为1，这使得我们无法根据这些效率值区分这5个DMU的绩效优劣；而模型（2）生成的这5个有效DMU的超效率值并不相等，我们可以对它们绩效的高低进行排序，这是超效率模型在对DMU进行评价时的固有优势．

根据理论分析和实证结果可知，我们所提出的超效率模型可以处理负投入产出数据，并且给所有DMU都提供了效率值．我们所提出来的模型，成功地解决了传统超效率模型的不可行问题，并且在处理含负数据和零数据集时总是可行的．与现有的可处理负数据的DEA模型相比，此模型能够对所有DMU进行完整排序．

3 结 语

通过选择恰当的方向向量，构造全新的基于 DDF的超效率模型得以处理负投入产出数据，解决了N-L超效率模型存在的不可行问题，与现有的可处理负数据的DEA模型相比，具有为所有DMU生成超效率值，且能够对所有DMU进行完整排序的优势．在未来的研究中，我们将提出一个考虑松弛的非径向超效率模型，使其既能处理负数据又能满足超效率模型生产可能集的公理体系．

参考文献

[1]Charnes A, Cooper W W, Rhodes E. Measuring the efficiency of decision making units [J]. Eur J Oper Res, 1978, 2(6):429-444.

[2]马占新．数据包络分析方法的研究进展[J]．系统工程与电子技术，2002，3（24）：41-45．

[3]Ray S C. Data envelopment analysis theory and techniques for economics and operations research [M]. Cambridge England: Cambridge University Press, 2004: 40-65.

[4]Cooper W W, Seifor L M, Tone K. Data envelopment analysis: a comprehensive text with models, applications,references and DEA solver software [M]. New York: Springer, 2007: 5-15.

[5]Andersen P, Petersen N C. A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis [J]. Manage Sci, 1993,39: 1261-1264.

[6]Ray S C. The directional distance function and measurement of super-efficiency: an application to airlines data [J]. J Oper Res Soc, 2008, 59: 788-790.

[7]Chen Y, Du J, Huo J. Super-efficiency based on a modified directional distance function [J]. Omega, 2013, 41(3):621-625.

[8]Lin R Y, Chen Z P. Super-efficiency measurement under variable return to scale: an approach based on a new directional function [J]. J Oper Res Soc, 2016, 66(9): 1506-1510.

[9]Portela M C A S, Thanassoulis E, Simpson G. Negative data in DEA: a directional distance approach applied to bank branches [J]. J Oper Res Soc, 2004, 55(10): 1111-1121.

[10]Sharp J A, Liu W B, Meng W. A modified slacks-based measure model for data envelopment analysis with ‘natural’negative outputs and inputs [J]. J Oper Res Soc, 2007, 58(12): 1672-1677.

[11]Emrouznejad A, Anouze A L, Thanassoulis E. A semi-oriented radial measure for measuring the efficiency of decision making units with negative data, using DEA [J]. Eur J Oper Res, 2010, 2009(1): 299-301.