航空快递的地面集货运力与航空运力调度问题

李红启，刘寅莹，简晓荣

（北京航空航天大学交通科学与工程学院，北京 100191）

航空运输以其显著的快速性，成为中高端快递服务的首选运输手段；将地面车辆的集货/配送环节与航空运输有效衔接，成为快递企业的重要运作模式。例如：中国邮政速递物流公司（EMS）依托中国邮政航空公司，建立起以南京为集散中心的全夜航航空网，并配以2万余部揽收、投递专用车辆；顺丰速递是国内投递速度最快的快递公司之一，截至2015年7月，拥有1.6万台地面运输车辆和40架全货机（含租赁），并明确2021年运营196架全货机的发展目标。自营全货机机队、有效衔接起航空运力和地面运力、充分发挥不同运输方式的技术经济优势、降低物流成本、提升服务时效性，是现阶段中国物流快递企业的追求目标。由于地面车辆集、配货结合航空运输的快递网络模式涉及的运能资源多、运输组织环节多、协调作业多，航空快递的地面集货运力与航空运力协同调度问题较传统车辆调度问题[1-2]更为复杂，主要体现在如何协调地面车辆路径优化和航空运力运用方式等方面。

对航空快递地面集货运力与航空运力协同调度问题的研究具有重要参考意义的成果主要为两类：航空运力调度问题和两级运输网络上的车辆调度问题。

1）学术界针对航空运力调度问题的研究成果可大致分为3类：机队和机型分配问题，航班时刻和飞行路径排定问题，飞机排班问题。如：Hane等[3]研究机队分配问题的整数规划模型，对某家拥有11种机型、每日航班达2 500次的航空公司的机型分配问题予以求解；Levin[4]在研究单机型的航班时刻优化及飞机路径安排问题时引入了航班时刻窗的概念；Burke等[5]提出多目标鲁棒优化的飞机调度模型，采用基因算法进行求解；孙宏[6]以需用飞机数最少为目标研究航班衔接问题，以满足飞机调度指令为目标研究飞机排班模型和算法；付维方等[7]运用深度优先搜索算法生成可行航班串，通过整数规划模型对可行航班串进行筛选，以用于编制航班运营方案。

2）在两级运输网络上的车辆调度问题（简称2EVRP问题）中，货物先由大型车辆从配送中心送至中转站，再用小型车辆由中转站配送至客户点。Perboli等[8-9]给出2E-VRP问题总成本最小化的优化模型；Jepsen等[10]提出2E-VRP问题的边界流模型；Crainic等[11]分析了客户点分布、配送中心和中转站布局、中转站与客户点之间运输成本对总成本的影响；Crainic等[12]又分析了装卸作业、交通拥堵等因素对中转站布局的影响，并比较两级网络配送模式与单一层级网络配送模式的效果；Baldacci等[13]将车辆使用的固定成本考虑在内，分别建立两级运输网络上的可行路径集；Soysal等[14]将分时段分路段的交通拥堵因素添加到2E-VRP问题中，同时将驾驶员工资和车辆油耗成本考虑在内，构建混合整数线性规划模型；Li等[15]提出时效要求下城际干线运输网络衔接城市配送网络的多类型车辆调度问题的混合整数规划模型。

近30年来，航空快递市场日趋庞大。如20世纪末美国货运业中发展最快的细分业务是零担货运与空运，FedEX和UPS等建立起系统完善的地面衔接航空运输网络[16]。尽管针对车辆调度问题的研究已有近60年，但尚未出现针对航空快递活动中公路运力结合航空运力的协同调度问题研究成果。本研究旨在探讨航空快递的地面集货运力与航空运力协同调度问题，具有良好的理论价值和实践指导意义：在建模过程中对地面集货运输与航空运输的无缝对接进行刻画，拓展不同类型运力匹配和运输时效衔接方式，这可补充和丰富车辆调度问题的建模手段；模型求解方法和求解结论可为航空快递企业提供重要的运力使用策略，也为分析陆空联运协调性的决策提供参考。

1 混合整数规划模型

1.1 问题描述

航空快递的地面集货运力与航空运力协同调度问题具有如下特点。

1）运输网络有两类节点：起飞机场及其辐射服务范围内若干个有快递发送需求的客户点。其中，起飞机场为航空运输起点，也是地面集货卡车的始发/终到点。

2）空运运力分为固定航班运力（即全货机）和备选航班运力（即客机腹舱）。其中，全货机在既定时刻起飞，备选航班运力起飞时刻可有多种选择。集货卡车在全货机起飞前完成的集货量应不少于全货机的最低载货量要求；备选航班运力在全货机起飞后才起飞，其起飞时刻可根据综合运力调度方案灵活选定，备选航班运力没有最低载货量要求。空运成本和飞机类型有关。

3）起飞机场的地面集货作业区可用的集货卡车数量充足、类型丰富。

4）客户点的快递发送量已知、且不可拆分，每个客户点的发货量不超过集货卡车的额定载货量。客户点有服务时间窗限制。集货过程中每个客户点只能被访问一次。为降低机场的快递分拣作业量，设定同一辆集货卡车上的货物必须装载到执飞同一架次航班的飞机上。

5）为确保快递服务的时效性，要求客户点的货物从被提取、进入集货过程开始，直至飞机起飞，不能超过一定的时间长度。

6）地面集货成本主要考虑卡车行驶成本与固定成本，在考虑集货环节的同时，需兼顾客户点货物落地后的配送成本。

7）问题的目标函数拟定为运输总成本的最小化。

图1给出航空快递地面集货运力与航空运力协同调度问题的一个示例。运力调度方案包含两部分：卡车的地面集货路径，航空运力的类型选择。集货卡车从机场出发，前往客户点取货，再依据快递服务时效要求选择合适的航班，整个过程需满足时间窗、载运能力等约束。例如：集货卡车可从机场前往客户点3，然后依次前往客户点6、1、5，最后返回机场，该卡车上的货物均被装载至由全货机执飞的固定航班。

图1 航空快递的地面集货运力与航空运力调度问题示例Fig.1 Example of pickup-truck and aircraft scheduling problem in air express

1.2 模型构建

在运输网络G=（V，A）上，存在有节点集合V={0，1，2，…，n}，其中 0 表示起飞机场，V/{0}为客户点，dij表示网络节点之间的距离。qi为客户点i的待运货物量，gi表示为了将客户点i的货物配送至收货人所需耗用的成本（该成本发生在飞机降落后的地面配送作业过程）；[ei，li]为客户点时间窗，其中 ei和 li分别为客户点允许开始集货作业的最早和最晚时间；si表示集货卡车在客户点i的服务停留时间。K表示m种车型的集货卡车集合，Qk表示集货卡车k的额定载重量，αk表示集货卡车k的实载率。ck表示集货卡车k的行驶成本，fck表示集货卡车固定成本，vk表示集货卡车k的行驶速度。空运运力（即飞机）集合H={1，…，g，…，h}，其中 H={1，…，g}表示执飞固定航班的全货机，T表示固定航班的飞机起飞时刻；H{1，…，g}表示备选航班运力；Ch表示空运运力的载货量，βh表示全货机起飞要求的最低载货率，ach表示空运运力的变动成本；dh表示空运的运距。T0表示换装作业预留时间。L表示客户点的货物从被提取、进入集货过程开始，直至飞机起飞的允许最长时间。

设定：xijk，yk，uh，wih∈{0，1}为决策变量。对于 xijk，若集货卡车 k 经过弧（i，j），取 1，否则取 0；对于 yk，当使用集货卡车k时，取1，否则取0；对于uh，当机场使用备用航班运力 h（h>g）时，取 1，否则取 0；对于 wih，若第i个客户点的货物装载到第h架飞机上，取1，否则取0。此外，dtk表示集货卡车k的发车时间，dtk≥0；atki表示集货卡车k到达点i的时间，atki≥0；wtki表示集货卡车k在点i的等待时间，wtki≥0；th表示空运运力 h 的起飞时刻（当 h∈{1，…，g}时，th=T）；常量 τ为集货卡车等待时间的惩罚成本系数；M为足够大的正数。

航空快递的地面集货运力与航空运力协同调度问题混合整数规划模型的目标函数包含5部分：集货卡车的行驶成本和固定成本、空运成本、集货过程的时间惩罚成本、配送环节需耗用的成本，表示为

混合整数规划模型的约束条件包括：

1）与集货环节相关的约束条件

约束（2）表示当使用集货卡车k时，集货卡车k离开机场的次数为1，结合约束（3）表示集货卡车k进出机场各1次；约束（3）表示集货卡车k进出某一节点的次数相等；约束（4）表示集货卡车k进出某一节点的次数最多为1次；约束（5）表示一个客户点恰好被一辆集货卡车服务1次；约束（6）确保每辆集货卡车服务的客户点的货物总量不超过该集货卡车的允许最大载货量；约束（7）和约束（8）规定集货卡车在客户点和机场到达时间之间的关系；约束（9）和约束（10）刻画了集货卡车在两个客户点到达时间之间的关系；约束（7）～约束（10）描述集货卡车到达各点的时间关系；约束（11）和约束（12）为客户点的时间窗约束。

2）与空运环节相关的约束条件

约束（13）表示对每个客户点的货物而言，都一定能赶上某一航班运力；约束（14）确保了当第i个客户点的货物被安排在航班运力h上时，该航班运力一定会被使用；约束（15）确保了一个被服务客户点的货物只能安排在一趟航班运力上，也即客户点货物不可拆分；约束（16）和约束（17）要求同一辆集货卡车上的货物必须装载到同一架飞机上；约束（18）表示固定航班运力一定会被使用；约束（19）确保固定航班上的货物量满足全货机起飞的最低载货率要求；约束（20）要求每趟航班上的货物量不超过其最大允许载货量；约束（21）确保客户点的货物从被提取、进入集货过程开始，直至飞机起飞，不能超过一定的时间长度L；约束（22）确保服务客户点的集货卡车在航空运力起飞前返回起飞机场；约束（23）表示使用的备选航班运力在固定航班货机起飞后一段时间才起飞，θ为常数；约束（24）表示固定航班运力的起飞时间为既定时刻。

3）其他辅助约束

2 求解算法

既有研究通常使用精确算法或启发式算法对车辆调度问题及其变形形式进行求解。精确算法主要包括分支定界法、列生成法、拉格朗日松弛法、D-W分解法、Benders分解法等，精确算法能在足够的求解时间前提下获得中小规模算例的最优解。常用的启发式算法包括节约算法、邻域搜索算法、禁忌搜索算法、模拟退火算法、蚁群算法等。

同时采用精确算法与启发式算法对所构建的混合整数规划模型进行求解。精确算法选用Benders分解法。启发式算法的求解过程分为两个阶段：使用贪婪算法构造初始解，使用邻域搜索算法对初始解进行优化。

2.1 Benders分解法

在构建的混合整数规划模型中，0-1变量包括xijk、yk、urh、wih，连续变量包括 dtk、atki、wtki、th，将 0-1 变量以及只含0-1变量的约束条件作为主问题，包含连续变量的约束条件作为子问题。

2.1.1 主问题与子问题

主问题目标函数中包含整数变量 xijk、yk、urh、wih。首先求解主问题，获得0-1变量的初始解及目标函数值作为下界LB。

主问题目标函数为

约束条件包括式（2）～式（6）、式（13）～式（20）、式（25）。

子问题目标函数为

转化为标准形式的约束条件包括

2.1.2 建立子问题的对偶问题

定义子问题约束对应的对偶变量分别为

将求解主问题获得的作为初始值带入到子问题的对偶问题中，求解该对偶问题。若子问题有可行解，将获得的目标函数值与当前UB值作比较，取较小的值作为上界，更新UB，然后比较上界和下界的值，若LB=UB，则算法停止。子问题的对偶问题如下：

子问题的对偶问题的目标函数为

约束条件包括

2.1.3 重建主问题

将生成的割约束加入到主问题中，引入自由变量temp，重建Benders主问题，原问题的模型可写为

约束条件包括式（2）～式（6）、式（13）～式（20）、式（25）

约束（31）和约束（32）为求解对偶问题后所添加的割约束，当求解子问题的对偶问题有最优解时，则向重建主问题中添加最优割约束（31）；当求解子问题的对偶问题无界时，则向重建主问题中添加可行割约束（32）。

2.2 两阶段启发式算法

2.2.1 基于贪婪算法的初始解构造

贪婪算法的主要特点是：在求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，而不管这样选择出的结果是否全局最优。本研究在构造初始解时，先基于贪婪策略构建地面集货路径，再确定航空运力的运用方案。

1）地面集货过程

在构造初始解的集货路径时，将每一个客户点都视为一个候选元素。对每一候选元素，赋予一个贪婪函数值，该贪婪函数的形式为

贪婪函数式的分子组成：前两部分分别为集货过程的行驶成本与等待时间惩罚成本，第三部分为配送环节所耗用的成本；分母为客户点的待运货物量。

集货卡车从机场出发，将每一个客户点都视为候选元素，比较其贪婪函数值。在每一次选择中，尽量选择贪婪函数值最小的客户点作为下一个服务点，但同时需考虑到以下限制条件：每辆卡车的载货量不能超过其额定载货量，兼顾客户点的服务时间窗要求，且每个客户点恰好被服务1次。若在某次贪婪选择过程中有违反上述某一或某几条约束条件的情况，则将该点在本次构造中删除，选择另一个函数值小的客户点，直到没有符合条件的客户点可被服务为止。反复运行该操作，可获得可行解。

2）空运过程

考虑到同一辆集货卡车上的货物须装载在同一架次的飞机上，令cl为集货部分构造的初始路径，将每条路径中货物所选择的航班视为候选元素（本模型中候选元素有2个，即固定航班与备用航班）。对每个候选元素，赋予一个贪婪函数值，贪婪函数的形式为

贪婪函数值即为每条路径的空运成本。比较贪婪函数值，在每次选择中，尽量选择函数值小的航班，但同时需考虑以下约束条件：固定航班货机起飞前完成的集货量不少于固定航班货机的最低载货量，备选航班运力无最低载货要求，但每趟备选航班运力上的货物量不超过其最大载货量；客户点的货物从被提取、进入集货过程开始，直至飞机起飞，不能超过一定时间长度；所用集货卡车在航空运力起飞前返回起飞机场；备选航班运力在固定航班货机起飞后才能起飞。

2.2.2 邻域搜索

在借助邻域搜索进行初始解优化时，首先针对地面集货部分，以客户点为移动或交换操作对象。路径内的邻域搜索算子主要有2-opt与Or-opt两类，但2-opt算子不能保持路径上各点之间的时间连续性，不适合模型所包含的时间窗约束。综合比选，最终采用的邻域搜索算子包括：Or-opt算子、2-opt*算子、交换算子、1-0改进算子、2-1改进算子。

1）Or-opt算子 从既有路径方案中随机选取一条路径，针对该路径，随机选择由l个连续客户点组成的片段在该路径中进行重定位。若对某条路径进行其内部多个连续点的重定位，往往会出现违背时间顺序的问题，这里采用Or-opt算子，令l=1。若重定位操作后的路径满足模型的约束条件，则保留该次操作的结果；否则，再次随机选取一条路径进行重定位操作。

2）2-opt*算子 从既有路径方案中随机选取2条路径，针对这一对路径，随机选择分别位于2条路径内的2条边，断开这2条边后，分别连接起第1条路径的前半部分和第2条路径的后半部分、第2条路径的前半部分和第1条路径的后半部分。若操作后2条路径都满足约束条件，则保留该交叉操作结果；否则，再次随机选取2条路径进行交叉操作。

3）交换算子 从既有路径方案中随机选取2条路径，针对这一对路径，随机选择分别位于2条路径内的2个客户点进行交换操作。若交换操作后2条路径都满足约束条件，则保留该交换操作的结果；否则，再次随机选取2条路径进行交换操作。

4）1-0改进算子 从既有路径方案中随机选取2条路径，针对这一对路径，随机选择一条中的1个客户点，插入到另一条路径中。若操作后2条路径都满足约束条件，则保留操作结果；若操作后其中一条路径中已无客户点，则删除该路径；若操作结果不满足约束条件，则再次随机选取2条路径重新进行交换操作。

5）2-1改进算子 从既有路径方案中随机选取2条路径，针对这一对路径，随机选择一条中的1个客户点，与另一条路径中的2个客户点进行交换操作。若操作后2条路径都满足约束条件，则保留操作结果；否则，再次随机选取2条路径进行交换操作。

此外，若针对空运过程进行邻域搜索，则需考虑以下因素：考虑到同一辆集货卡车上的货物必须装载在同一架次的飞机上，路径间的局部搜索可能会导致解不可行；由于只需确定空运运力类型及部分运力的起飞时刻，不必考虑路径内的局部搜索。综合权衡，不再针对空运运力排定进行邻域搜索操作。

3 算例求解

测试算例以主营航空快递业务的某物流企业为参照，基于该企业布局于北京、上海和广州的营业网点坐标，借助适当方法来补充某些数据。为设计出不同规模的算例，从该企业布局在各个城市的营业网点中随机选择m个点作为客户点。构造20个规模较小的算例和5个规模较大的算例。以“VRPTC-m-n”为算例编号，m表示客户点数，n表示相同客户点数下的算例序号。

3.1 主要参数取值

进行算例求解运算时，集货卡车基本参数如表1所示。参考现阶段中国航空快递业所用主要空运运力状况，拟定全货机的起飞时刻为12∶00，其最大载货量为14 t，其起飞要求的最低装载率为50%，空运变动成本为1.8元/（t·km）；拟定航空快递所能选用的客机运力起飞时刻要比全货机的起飞时刻至少晚2 h，客机腹舱的最大允许载货量为3 t，空运变动成本为1.5元/（t·km）。此外，将快件在地面车辆和空运运力之间的换装作业时间限制在2 h，将该类航空快递服务的承诺服务时效设定为8 h。

表1 算例运算中所选用集货卡车相关参数取值Tab.1 Parameter values for pickup-trucks in computational experiments

3.2 运算结果

基于Benders分解法与启发式算法涉及的各主要参数的拟定取值，对不同规模算例进行求解运算，记录启发式算法与Benders分解法求解小规模算例的结果（如表2所示）及启发式算法求解大规模算例的结果（如表3所示）。表2包括10列内容：第1列为算例编号，第2列与第3列分别为基于贪婪算法所构造的初始解目标函数值（ObjG）以及邻域搜索后得到的满意解目标函数值（ObjG_LS），第4列为ObjG_LS相对于ObjG的优化率（Gap1），第5列为启发式算法的运算时间（TG_LS），第6列与第7列分别为最优解的集货成本（ObjB-1）与空运成本（ObjB-2），第 8列与第 9列为最优解的目标函数值（ObjB）及Benders分解法的运算时间（TB），第10列为启发式算法满意解与最优解之间的偏差（Gap2）。表3包括7列内容：第1列为算例编号，第2列为基于贪婪算法所构造的初始解目标函数值（ObjG），第3列与第4列分别为邻域搜索后得到满意解的集货成本（ObjG_LS-1）与空运成本（ObjG_LS-2），第 5 列为满意解目标函数值（ObjG_LS），第6列为ObjG_LS相对于ObjG的优化率（Gap1），第7列为启发式算法的运算时间（TG_LS）。

表2 小规模算例的精确算法与启发式算法求解结果Tab.2 Exact and heuristic solutions for small-scale instances

表3 大规模算例的启发式算法求解结果Tab.3 Heuristic solutions for large-scale instances

针对不同规模算例的求解运算结果显示：

1）Benders分解法与启发式算法均能对模型进行求解，表明所建模型和所用算法的准确性和有效性。从求解结果的目标函数值看，两阶段启发式算法可获得高质量满意解。在19个小规模算例中，启发式算法能获得9个算例的最优解。启发式算法所得满意解相对理论最优解的误差（即Gap2）都在0.5%以内，Gap2平均值为0.1%，而在0.2%以内的有14个算例。

2）对于不同规模的算例，启发式算法都能在较短时间内给出较高质量的满意解。随着算例规模增大，Benders分解法的求解时间明显加长，当客户点总数达到15时，求解时间已超过48 h。可见，Benders分解法的求解能力有限。对于表2中的20个小规模算例，启发式算法的平均运算时间为3.3 s，运算时间小于10秒的算例有19个，占95.0%。对于表3中的5个大规模算例，启发式算法的平均计算时间为15.0 s。

3）两阶段启发式算法能快速构造初始解，在此基础上，邻域搜索过程能有效实现对初始解的优化。启发式算法对小规模算例的优化率平均水平为0.3%，对大规模算例的优化率平均水平为0.5%，在一定程度上表明本研究所设计的启发式算法的稳定性和高效性。

4）从所有算例的运算结果看，地面集货成本占总成本的平均比例为4.4%，空运成本占总成本的平均比例为95.6%。在航空快递的地面集货运力与航空运力协同运用中，空运成本占据更大的成本支出比例，快递企业应优先保证空运运力的有效运用。

总体上看，所建立的航空快递地面集货运力与航空运力协同调度问题的混合整数规划模型能够准确刻画出地面集货运输与航空运输的无缝对接过程，该模型主要运用了服务时效约束与运力匹配约束来衔接陆运、空运网络上不同类型的运力。所提求解算法能给出小规模算例的精确解与大规模算例的满意解。不同规模算例的求解结果能给出多车型地面车辆集货路径方案和航空运力调度方案，这实际上就是航空快递陆空网络模式具体解决方案重要组成部分，可为航空快递企业提供重要的运力使用策略，也提供了用于分析陆空联运协调性的决策参考。

4 结语

面向航空快递领域中的地面车辆集货环节与航空运输环节的衔接问题，利用服务时效约束与运力匹配约束实现不同运输网络上不同类型运力间的无缝对接，构建航空快递地面集货运力与航空运力协同调度问题的混合整数规划模型，采用Benders分解法求解规模较小的算例；对规模较大的算例，采用两阶段启发式算法予以求解：用贪婪算法构造初始解，使用邻域搜索算法来优化初始解。以主营航空快递业务的某物流企业为参照设计各种规模的测试算例，运算结果显示，所用精确算法和启发式算法均能对该混合整数规划模型进行求解，表明所建模型和所用算法的准确性和有效性。此外，在航空快递的地面集货运力与航空运力协同调度中，快递企业应优先运用好空运运力。本研究拓展了不同类型运力匹配和运输时效衔接方式，这可丰富车辆调度问题的建模手段，也提供了用于分析陆空联运协调性的决策参考；而算例运算试验可为快递企业提供运力使用策略。

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