2017年上海卷第12题的多种解法及推广

☉上海市七宝中学 童永健

2017年上海卷第12题的多种解法及推广

☉上海市七宝中学 童永健

2017年上海高考是上海市新高考“3+3”模式试验的元年，数学学科由原先的文理分科合并为一份试卷进行测试.虽对整体的题目数量和难易题比例有略微的调整，但试卷中仍不乏对学生综合考验的“能力题”，作为创新型问题的填空最后一题便有其“独具匠心”一面，其对学生短时间内的的探究能力和问题解决能力提出了较高的要求.深入思考，也能挖掘出一些考试中可能不曾看清的、问题背后的精彩之处.

一、注重探究，多视角剖析真题

试题 （2017年高考数学上海卷第12题）如图1所示，用35个正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧.用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP距离和.若过P的直线lP中有且仅有一条使得D1（lP）=D2（lP），则Ω所有的这样的点P的直线有且仅有一条，则Ω中这样的P为______.

图1

解法1：由于点都在正方形的顶点，又是求点到直线的距离问题，所以想到建立直角坐标系，利用点到直线的距离公式解题.如图1，对四个“▲”标明字母，并以B点所在直线为x轴，A点所在直线为y轴建立直角坐标系，则P1（0，4），P2（3，2），P3（4，2），P4（6，5），A（0，3），B（1，0），C（4，4），D（7，1）.

设过点Pi（i=1，2，3，4）的直线为y-yi=k（x-xi）（斜率不存在的情况另行讨论），计算A，B，C，D各点到直线的距离，并进行求和等于0，讨论k的范围去绝对值，进而确定k的值.

以点P3（4，2）为例，显然x=4不满足题意，设过点P3的直线lP3：y-2=k（x-4），则A，B，C，D四点到lP3的距离分别为，讨论点A，B，C，D与直线lP3的位置关系：

综上所述，P3满足题意.

同理可知，P1，P4满足条件，因此，这样的P为P1，P3，P4.

上述解法即使会做，运算量也都会比一般的解答题大，是否有简单的表述方式呢？答案是肯定的！

解法2：可利用教材中点在直线同侧异侧判别式的概念直接去除绝对值，此时将距离看成有向线段，直线某侧的点到直线的距离便产生负值，若数值相同，方向则可相互抵消，无论A，B，C，D是“3—1”，还是“2—2”分布于直线两侧，均不会影响最终的结果［1］.

以P3为例，易得P（34，2），设过P3的直线lP3：y-2=k（x-4），即kx-y-4k+2=0，此时有判别式δ=可略去分母，将A，B，C，D四个点的判别式相加得（-3-4k+2）+（k-4k+2）+（4k-4-4k+2）+（7k-1-4k+2）=0，是关于k的一次方程，解得k=0，即直线y=2满足.

同理可求P1，P4满足条件.

所以，满足条件的点为P1，P3，P4.

以上解法需要过每一个点都设出一条直线方程，仍有些麻烦，是否有更简单的表述呢？有！

设直线方程l为px+qy+s=0，由解法2知，若A，B，C，D

分布在直线px+qy+s=0的两边，则p（x

A

+x

B

+x

C

+x

D

）+q（y

A

+y

B

+y

C

+y

D

）+4s=0，即3p+2q+s=0.

若P1在直线l上，将P1代入px+qy+s=0，得4q+s=0，则有所以l的方程为2x+3y-12=0.

同理可得过P3的直线l的方程为y=2，过P4的直线l的方程为x-y-1=0，过P2的直线l有无数条，不满足条件.

所以，满足条件的点为P1，P3，P4.

解法3：不直接解答或尽可能少直接解答客观题是解题上策.本题可以从形的角度求解.

四个点分布在一条直线两侧可能是一侧有3个点，另一侧有1个点，也有可能是每侧各2个点.观察图形不难发现，对于点P2，过P2至少有两条直线（y=2，x=3），使得四个“▲”两两距离和相等.而P3也在直线y=2上，故对P3，y=2也是一条满足条件的直线，显然竖直方向的x=4不满足，而其他方向上的直线是否能够满足条件，则需另外讨论.

注意到四边形ABCD所围区域外的点P1，P4.以P1为例，连接P1A，即过点P1的直线，记为lP1，将直线lP1绕点P1逆时针旋转，分别经过A，B，D，C，在此过程中，点A到lP1的距离不断增大，记为d（A—lP1），点B，D到lP1的距离d（B—lP1），d（D—lP1）先减小后增大，点C到lP1的距离d（C—lP1）不断减小.设D1（lP1）为lP1下方点到直线lP1的距离和，D2（lP1）为lP1上方点到直线lP1的距离和，易得D1（lP1）递增，D2（lP1）递减，所以无论四个点是3—1分布还是2—2分布，仅存在一条直线lP，使得D1（lP1）=D2（lP1）.

此时仅需讨论点P3的情况，可运用解法1中的方法进行计算，解得k的值唯一.

解法4：对任意四边形，直线某侧两点到直线的距离和可看作是两点连线段中点到直线距离的2倍，那么A，B，C，D到直线的距离即可转化为将四点分组后两两中点到直线的距离.

不难得到如下结论：对于任意四边形，若P点不是对边中点连线的交点，则过P点必然能找到且仅能找到一条直线，使得D1（lP）=D2（lP），这条直线是P与对边中线交点的连线.

证明：如图2，假设A，B与C，D位于直线l两侧，则

如图3，假设A与B，C，D位于直线l两侧，则

图2

图3

无论哪种情况，均有

显然l应过M1，M3中点O. 又易知四边形M1M2M3M4是平行四边形，所以O也为M2，M4的中点，所以对易于O点任意位置的P，直线PO均为所求的直线l，O点唯一，所以直线l唯一.

若P在点O的位置，则任意一条过点O的直线均满足条件.

由此即得满足条件的点为P1，P3，P4.

二、适时总结，反思提升

（一）结论的推广

解法4：已是推广后的结论，进一步思考，有：

（1）该结论可用于平面内任意四边形（包括凹四边形），并且P点可选择任意位置，从而得到相对应的结论.

（2）将该结论推广到空间内任意四点及任意直线，过该直线可找到唯一平面，使得四个点分布于平面两侧分为两组，并且两组点到平面的距离和相等，该平面由直线及四点所构成的空间四边形对边中点连线的中点确定.

（3）对平面内不规则凸n边形（n=2k，k≥3，k∈N*），该结论不成立，对凸n边形（n=2k+1，k∈N*），同样没有类似的结论.

解法2：也可从解析的角度进行推广，有：

平面内任意n个点的坐标分别为Ai（xi，yi）（i=1，2，…，n），将其分布于过点P（x0，y0）的直线l两侧，使得每一侧的点到直线的距离和相等（d（P）1=d（P）2），则这样的直线l存在且唯一（P不为质点系Ai的重心（Ai质量相等））.

过点P0的任意直线l，均满足D（1lP）=D（2lP）.

该结论同样可以推广到高维空间.

（二）结论间的相互关联

通过上述讨论可知，四边形对边中点连线的交点是四边形四个顶点所构成质点系的重心G（四个顶点质量看作相等，上述讨论其实是质点系重心公式退化的结论，详见文献［2］，［3］.这里，四个顶点构成质点系的重心并不能认为是四边形的重心［2］.而不规则多边形重心的确定方法，可采用几何法［3］，以四边形为例，将四边形对角线连接，分为一对三角形，四边形的重心落在两个三角形重心的连线上；连接另一条对角线，可找到另一对三角形重心的连线，两条连线的交点即四边形的重心.

从向量的角度出发，点G满足G—→A+G—→B+G—→C+G—→D=0，而根据平行四边形法则恰好是一组长度相同，方向相反的平行四边的形对角线的一半，恰为AB，CD这组对边中点的连线.

在探究过程中不难发现，四边形作为一个较为特殊的例子，可以将两个结论进行联系.而试题中出现的四个点构成的图形正是四边形，这不失为问题的成功解决提供了更多一条的策略.

经历一番思考后回归问题，不禁有恍然大悟之感，本题作为高考卷中的“能力测试”，兼具探究性和创新性，其背景及所蕴含知识的深度值得细细品味.

1.罗德安.点到直线距离公式中符号的确定［J］.中学数学，1984（4）.

2.赵灵军，赵雪剑.有关多边形重心的几个问题［J］.数学通报，2007（6）.

3.赵玉成，刘命元，向治全.多边形均匀薄板重心确定的几何法［J］.力学与实践，2011（6）.H