多元最值巧转化——一题多解双曲线的离心率问题

☉安徽省滁州中学 傅毓涛

著名科学家钱学森先生说过：“模型就是通过对问题现象的分解，利用我们考虑得来的原理吸收一切主要的因素，略去一切不主要的因素，所创造出来的一幅图画.”圆锥曲线中椭圆或双曲线的离心率问题的求解一直是热点问题，也是历年高考、竞赛中比较常见的一类问题.下面结合一道新颖的双曲线试题，通过多元最值的巧妙转化来解决双曲线的离心率问题，知识板块融合巧妙，方法多样，是创新意识与素养培养的良好素材.

题目 已知c为双曲线a＞0，b＞0）的半焦距，当取得最大值时，双曲线C的离心率e=______.

分析：涉及双曲线问题的多元最值，解决的思维方式就是通过基本不等式、柯西不等式来转化，或通过消元达到整体思维的应用，或通过换元达到减少参数个数，或通过引入参数来转化等方式达到求解的目的.方法众多，思维各异.

思维方式1：结合多元代数式的平方，巧妙通过分式中分子的二次系数的关系，利用基本不等式确定代数式的最大值，根据基本不等式中取等号时的条件来确定参数a、b的比值关系，进而利用双曲线的离心率公式来求解即可.

思维方式2：结合多元代数式与双曲线中的参数关系的转化，巧妙利用柯西不等式来确定代数式的最大值，根据柯西不等式取等号时的条件来确定参数a、b的比值关系，进而利用双曲线的离心率公式来求解即可.

解法2（柯西不等式法）：由于a，b，c均为正实数，且

由柯西不等式得（4a+3b）2≤（42+32）（a2+b2），当且仅时等号成立，则有

思维方式3：结合多元代数式与双曲线中的参数关系的转化，确定其相对应的几何意义，利用定点到动直线的距离的关系与两直线垂直确定代数式的最大值，根据直线的斜率公式与两直线垂直的条件来确定参数a、b的比值关系，进而利用双曲线的离心率公式来求解即可.

解法3（几何意义法）：由于a，b，c均为正实数，且c2=，其几何意义是点P（4，3）到直线l：ax+by=0的距离d，而直线l是过原点O（0，0）的动直线，则有d≤|OP|=，当且仅当OP⊥l，即kOP·kl=取得最大值d=5，max

思维方式4：结合多元代数式与双曲线中的参数关系的转化，设出两个平面向量的坐标，利用关系式所对应的平面向量的夹角的余弦值，通过平面向量的位置关系来确定代数式的最大值，进而确定参数a、b的比值关系，利用双曲线的离心率公式来求解即可.

思维方式5：根据双曲线中的参数关系加以三角代换，把相应的多元代数式转化为三角关系式，利用三角函数的图像与性质来确定代数式的最大值，进而确定参数a、b的比值关系，利用双曲线的离心率公式来求解即可.

解法5（三角换元法）：由于a，b，c均为正实数，且c2=a2+b2，故可设a=c cosα，b=c sinα，α∈4cosα+3sinα=5sin（α+φ），当且仅当sin（α+φ）=1，即α+φ=取得最大值5，此时有a=解得

思维方式6：结合多元代数式的平方，转化为涉及参数a，b的比值关系式，引入参数转化为对应的函数，通过求导，结合函数的单调性来确定函数的最大值问题，进而确定参数的取值，即参数a，b的比值关系，进而利用双曲线的离心率公式来求解即可.

无论采用何种方法求解此类问题，解决的关键是减少参数个数或转化参数，通过消元或换元（整体思想）或引参（目的是减元，转化为函数问题）等来转化，达到可以根据不等式、三角函数、导数、相关的几何意义等角度来确定最值的目的，从而得以巧妙转化，圆满解答.H