反思结果，剖析过程，探求本质——高中数学解题反思三部曲

☉浙江省慈溪赫威斯育才高级中学 胡海杰

数学解题是一种实践性的技能，要在该过程中提高解题能力，依靠大量的机械化、重复性的练习往往是不够的，忽略问题本质，忽视问题的内在联系很难取得学习成效.而围绕问题开展反思是一种十分有效的学习方式，分析结果，深入过程，探求本质，可以充分挖掘知识精髓，优化学生的学习方法和思维过程.

一、反思解题结果

学生在解题时不可避免地会因忽略一些关键条件而导致错解，错解的出现并不可怕，引导学生反思错误，理解错误出现的原因，帮助学生从根本上强化知识即可利用错误收获常规教学中难以获得的意外之喜.

例1 已知抛物线C：x2=4y，其上存在一长度为3的动弦AB，求AB的中点Q到准线l的最小距离.

错解：两点之间线段最短，则过点A，B，Q作准线l的垂线，设垂足分别为M，N，P，则AB的中点Q到准线l的距离应为|当且仅当A、B、F共线的时候，距离取得最小值|PQ|min=，所以AB的中点Q到准线l的最小距离为

反思：学生简单地认为依据“两点之间线段最短”建立关于距离的关系式求解的想法是错误的，题设条件中A，B，F三点共线的情形不存在，即距离关系不等式的等号不具备成立的条件，抛物线通径2p=4，|AB|=3＜2p，动弦不会通过焦点F.如若将弦AB改为6，上述解题思路则正确，因此时|AB|=6≥2p，动弦具备通过的条件.利用“两点之间距离最短”的性质来进行解题，需要保证动弦的取值不小于通径，即存在三点共线的情形.

事实上，对于该题的正确解法，需要设出动弦AB所在的直线方程y=kx+b，与抛物线方程联立，根据Δ＞0来取得限制条件，k2+b＞0，然后利用韦达定理建立求解弦长|AB|的关系式，从中转化出b与k的关系，即k2，与限制条件联合可得由此可得动弦AB的中点到准线的距离为求导分析可知其在区间［1，+∞）上单调递增，则k=1时，取得最小值

造成上述错解的主要原因是忽视关键信息，思维逻辑有缺陷，利用三点共线求距离最短的策略本质上没有问题，但实现的条件没有经过严谨的论证，即讨论弦长是否大于通径.对错误的透彻剖析，正解引导不仅可以提升学生解题能力，而且引导纠错的过程可以帮助学生形成正确的思维过程，这才是反思解题结果的关键.

二、反思解题过程

学习解题是学生巩固知识技能的一种重要方式，对学生解题的过程进行反思是解题反思教学的关键环节，反思内容可以包括以下几点：1.评估现有解题方法的优缺点；2.围绕问题进行思路探究，思考是否存在更好的解题策略；3.反思解题过程中用到了哪些推理依据，涉及哪些数学思想.

分析：常规的思路是将已知cos进行展开，可得，然后结合sin2α+cos2α=1即可获得cosα和sinα的值，利用二倍角公式可求出sin2α和cos2α，最后代入可求解.

反思：上述常规方法学生很容易想到，但是计算量较大，尤其是求解二元一次方程组时会有些复杂，容易出错，对解题过程进行反思，可以转化解题思路，优化解题过程.

思路1：同样是从已知条件出发来考虑，但是不再直接展开，而是观察目标角比对已知角，分析两者之间存在的联系，通过拼凑的方式即可建立联系，即2，然后借助二倍组合运用的三角公式可最终求解，求解过程中对于一些已知角的三角函数值可以直接代入.

思路2： 对于展开的已知条件，如注意到sinα和cosα前面的系数相同，则可以进一步将其整理为从整体思想来思考，将其迁移到求解sinα-cosα的值上，从而联立方程即可分别求出sinα和cosα的值，最后与常规方法一样，先利用二倍角公式求出sin2α和cos2α，最后再将其代入展开的co中即可.该种方式与常规解法相比，虽然都需要求解二元一次方程组，但极大地减小了计算量，更为简捷.

上述案例是在学生完成常规解题后开展的过程反思，反思已知条件与目标问题之间的关系，从不同的角度来思考题干信息，尝试利用不同的数学思想来解决问题，并对方法的优劣进行了比较，最终找到更为简捷的解题思路.通过对问题的分析反思，有效拓宽了学生的解题思维，促进知识之间的联系重组，反思的过程同样可以调动学生探究的主动性.

三、反思问题本质

高中数学问题形式多样、千变万化，反思问题的本质就显得尤为重要，尤其是在反思中深入了解问题产生的实质，从中概括出问题存在的一般形式，总结解决问题的通性通法或实质结论，反思问题的另一个重要意义是基于现有问题进行的拓展抽象，从中衍生出形异而质同的问题，加深对于问题本质的认识.

例3 已知椭圆E：=1（a＞b＞0），其长轴长为4，离心率为0.5，直线l经过点（0，-2），与椭圆E交于A，B两点，与x轴交于点P，其中点A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于点Q，如图1所示.

（1）试求椭圆E的方程.

（2） 探究是否为定值，如果是求出定值；若不是，请说明理由.

图1

解：（1）易求椭圆的方程（过程略）

（2）由意题可知，直线l的斜率存在且不为零，设l的方程为y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，-y1），则，令y=0可得Q的横坐标联立直线l与椭圆的方程整理可得（3+4k）2x2-16kx+4=0，则x1+x2=带入xQ中，解得xQ=2k，·（2k，0）=4，所以的定值为4.

反思：一般解析几何题存在一些问题和解法上的通性，在解决问题后开展深层次的反思，反思问题的本质是十分必要的.

结合问题条件和结论的数量特征、关系特征，定点坐标为（0，-2），结论定值为4，半长轴a=2，其中可能存在一定的联系，可尝试从以下几点进行猜想，探究问题本质：1.结论一般化后是否依然成立；2.条件和定点一般化后是否依然成立.依据上述猜想可设计如下问题：

问题1：已知椭圆E（a＞b＞0），如果直线l经过点（0，-a），与椭圆E交于A，B两点，与x轴交于点P，其中点A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于点Q，探究是否为定值.

问题2：已知椭圆E（a＞b＞0），如果直线l与椭圆E交于A，B两点，与x轴交于点P，其中点A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于点Q，探究O—→P·O—→Q是否为定值a2.

另外对于问题可以进行拓展性反思，其他条件不改变，将椭圆换为双曲线，探究其结论是否依然成立.

问题3：如图2，已知双曲线（a＞0，b＞0），如果直线l与双曲线E交于A，B两点，与x轴交于点P，其中点A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于点Q，探究是否为定值a2.

基于问题本质开展的反思可以帮助学生深刻理解问题实质.上述从定点问题入手，反思已知条件与待求结论之间存在某种联系，将特殊问题向一般化转变，从而得出具有普遍适用的结论，并且对问题进行了拓展，由椭圆结论推广到双曲线上，完成了知识的重要迁移.

图2

四、反思中的思考

中学生具有很强的学习能力和创造能力，单纯的题海战术并不能显著提高学生的解题能力，引导学生开展解题反思是十分必要的教学活动，上述讲到的解题反思三部曲，即反思解题结果、解题过程、问题本质，不应该单独开展，三者之间存在着紧密的联系，结合使用往往可以取得成倍的学习效果.另外，学生的学习过程是一个逐步深入的过程，在开展反思时应从问题的简单表象入手、递进到思维过程，深入到其中的本质，从问题的不同角度、不同解题策略来引导学生开展全方面的思考，可以结合一题多解、多题一解的模式来反思问题，在反思中培养学生思维的发散性和创造性.

解题反思过程中需要注意的是不能采取灌输式的讲法，不顾及学生的思维过程，忽略学生在解题反思中的主体地位.教师应给学生留足思考的空间，结合学生的实际情况，来设计相应的反思环节，既要注重问题的优解方法，又要合理把握对问题的实质拓展.

五、结束语

中学时期正是培养学生自主能力、数学思维能力、空间想象能力的重要阶段，提升学生能力需要与解题反思充分结合.从解题结果、解题过程、问题本质三方面来开展学习反思，借助反思的学习手段，帮助学生解决问题，优化方法，把握知识本质，在反思中培养学生的思维品质，提升学生的核心素养.需要注意的是解题反思的过程中要给学生留足思考的空间，尊重学生的主体地位，让学生充分享受学习的快乐.

1.陈墨迪.反思本质，追根溯源——谈一道题的延伸拓展［J］.中学数学（上），2017（8）.

2.朱利锋.反思解题方法，提升思维灵活性——以反思三角函数解题方法为例［J］.中学数学（上），2018（1）.

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4.孙世林.一道高考题的解法探究、娈式及反思［J］.中学数学教学参考，2017（3）.H