勇于面对，有效应对——让错误成为发展学生思维的起点

☉湖南省长沙市明德中学 何 玲

学生总害怕出错，很多教师面对学生的错误，也是锁紧眉头，事实上，这些态度都是不可取的.须知，学习过程中的错误是无法避免的，面对错误，我们要引导学生积极应对，让错误成为他们思维发展的起点.

一、辨明逻辑关系，纠正解题思维

例1 已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时存在极值且极值等于0，请确定m和n的值.

错解：因为f（x）=x3+3mx2+nx+m2，结合题意可得

在处理数学问题的时候，经常会用到化归的思想，比如极值的求解问题，就需要学生结合命题之间的关系，对原题进行等价变化.对于函数y=f（x），如果其导数f′（x）存在，那么f′（x0）=0是“函数y=f（x）在x=x0时取极值”的必要不充分条件，上述问题的分析正是学生没有清楚把握条件的充分性与必要性，以致于逻辑不清引起了解题的错误.因此在解题过程中，我们要指导学生立足于严谨的逻辑基础，厘清研究对象之间的关系，在此基础上做好化归工作，完成问题的处理.

二、剖析错因，发展思维严密性

例2 已知集合A={x|ax2+x+1=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，请确定实数a的值.

错解：因为ax2+x+1=0仅有一个实数根，所以Δ=0，代入数据可得

上述问题是学生刚刚接触“集合”概念时的一个问题.“集合”是高中数学最开始的内容，对学生数学思维的发展非常关键.对于以上的例题，大多数学生所提供的答案如上所述，因为他们在初中阶段已经能够熟练地处理一元二次方程的问题，这也就在学生的脑海中形成了思维定式，看到x的平方就想到的根的判别式.面对学生暴露出来的问题，笔者针对错误发生的原因提出问题：ax2+x+1=0是一个什么方程？学生稍有思考，给出了不同的答案，不少学生意识到二次项系数如果取0或不取0，将对应着两种情形，即方程也可能是一个一次方程，换言之，上述问题的解决必须要分类讨论，这其实正是思维严密性的重要体现.

例3 A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，如果A⊆B，请确定a的取值范围.

错解：学生大多会尝试着将“a”与临界值“1”和“2”这两个数字放在一起比较，最终通过数轴分别研究“a＜1，1＜a＜2，a＞2”这三种情形，经过分析他们能锁定只有a＞2符合题意.

面对这种情形，笔者一般会提出这样的问题：除了“a＜1，1＜a＜2，a＞2”这三种情形以外，是否还存在其他的情况没有考虑到的？学生继续展开观察和思考，并指出在原先的分析中遗漏了a等于“1”和“2”这两种情形.这种遗漏情形在学生的作业和考试中经常发生，比如，要求解经过点A（-4，3），且与以原点为圆心，半径等于4的圆相切的直线方程.学生在处理这种问题时，大多会想到待定系数法，假设直线的点斜式方程y-3=k（x+4），然后根据它与圆的相切关系进行求解，这样的处理显然遗漏了点斜式方程所对应的直线无法垂直于x轴这一事实，换言之，这样的处理漏掉了直线斜率不存在的情形.

在教学过程中，教师要结合学生的问题处理情况展开层层设问，这样的处理有助于学生及时发现自己思维不严密的缺陷，而且我们还倡导学生在解题时要沉着冷静，在问题分析过程中要积极做到“不重不漏”，并且要养成反思的习惯，多问问自己：“这样的考虑是否周全？”

三、在类比中纠正错误，发展思维的深刻性

例4 现有直角△APB，∠P=90°，∠A=60°，AP=1，经过点P构建任意射线l，使其与AB边交于点D，请确定AD长度小于1的概率.

错解：因为若AD边的长度恰好等于1，则点D就是AB边的中点，所以AD长度小于1的概率等于

面对学生所提供的答案，笔者没有给出任何评论，而是让学生进行思考这样一个变式问题：“现有直角△APB，∠P=90°，∠A=60°，AP=1，在斜边上任意取一点D，请确定AD长度小于1的概率.”面对这一问题，学生给出了和之前完全一致的答案.笔者启发学生展开分析：我们必须立足于试验来研究事件的概率，上述两个问题中所涉及的试验相同吗？学生在问题引领下展开讨论，他们发现原先例题的试验是“经过点P构建任意射线l，使其与AB边交于点D”，射线l在∠APB中任何位置的可能性是均等的，因此可以从角度比的层面上完成对概率的分析；变式问题中的试验是“在斜边上任意取一点D”，D点在线段上任意位置的可能性是均等的，因此可以采用线段比来完成对问题的分析.

在上述问题的处理过程中，笔者通过问题变式来引导学生展开对比化的思考，由此来惊醒梦中人.上述两个问题只有几个字的差别，但是在本质上发生了变化，通过类比处理，学生能够更加深刻地把握问题的实质，他们对几何概型的认识也获得了提升，下次再面对类似的问题时，他们的处理也就更加自如而轻松.在日常的教学中，教师尝试一题多变的方法，可以帮助学生看透数学问题的本质，这对学生思维深刻性的发展很有意义.

四、巧妙切换思维，发展思维的灵活性

例5求函数（fx）=x（21-3x）的最大值.

笔者让学生以合作讨论的方式处理该问题，讨论过程中，学生在试探中犯错，但又在错误纠正中不断前行，逐步向正确答案靠拢.

学生甲：（fx）属于两数积的形式，因此可以选用基本不等式的知识来处理问题.因为f（x）=x2（1-3x）≤但是不等式的右侧不等于常数，因此无法解出最大值，学生甲的这一方法没有走通，但是他的思路却给了别的学生一些启发.

学生乙：可以将f（x）的二次项拆开来，使其变为两个一次项的乘积，这样不等式的右侧即可变成常数.（fx）=x·x·（1-3x）

学生丙：右边还没有变成常数，还差了一些，我来试

讨论过程中，学生的思维在相互讨论中不断被激活，当学生以为问题解决时，很快有学生发现拆项后，等号不再成立，问题再一次陷入僵局.但是学生没有被困难吓到，他们继续探讨，结合之前错误的原因，尝试在拆项时让三项能够相等，因此尝试将二次项x2写成了

在探求问题的解决思路时，好的方法固然可贵，但是却未必能立刻奏效，某些想法虽然不够完美，不能立刻解决问题，但是却也不是毫无价值.教师指导学生纠正错误的关键，是将错因转化为正确思路的引玉之砖.当错误出现时，如果教师立刻就对学生的思路全盘否定，这将严重挫伤学生的学习热情和探究勇气，同时这也剥夺了学生自主探究真理的机会.长此以往，这将不利于学生的思维发展.反之，教师应该鼓励学生多方面地展开尝试，并对他们的错误施以针对性的引导，促使他们不断完善自己的思路，帮助他们走完“柳暗花明，曲径通幽”的最后一步，这样的过程将让学生对科学思维形成更加深刻的体验.

事实上，错误并不可怕，可怕的是面对错误的恐惧心理.因此，面对错误，无论是学生或是教师都不能讳疾忌医，如果教师强行制止学生出错，妄图以正确答案来覆盖学生的错误，所得到的结果往往是背道而驰的.优秀的教师应该让学生自主探索和深度分析，彻底地将错误的原因分析出来，然后进行纠正，在得到正确答案的同时，学生还要总结经验，这样就能让错误成为学生发展能力、提升思维的重要素材，这样的错误才更有价值和意义.H