基于认知负荷理论的函数定义的教学设计*

2018-05-26四川省内江师范学院数学与信息科学学院赵思林李雪梅

中学数学杂志 2018年9期

☉四川省内江师范学院数学与信息科学学院赵思林李雪梅

函数是现代数学最基本的概念，是贯穿高中数学课程的主线.著名数学家克莱因认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂.”［1］函数定义深含数学文化底蕴，具有较高的立人树人价值.但是，高中函数定义是公认的教学难点.有调查显示，超过90%的中学生弄不清究竟函数是指f，是f（x），还是y=f（x）；高中学生很难接受“对应关系f是函数”的表述［2］.学生感到理解函数定义困难的重要原因是很难接受对应关系f，其根本原因是认知负荷的总量超过了工作记忆容量的上限［3］.关于高中函数定义已有一些教学设计，但尚未看到在初中函数定义基础上直接建构高中函数定义的教学设计.对此，本文在初中函数学习基础上基于认知负荷理论给出函数定义的“八步”教学设计.

一、认知负荷理论及相应的教学策略

米勒的组块理论表明，成人工作记忆可以同时处理5至9个信息组块（chunk）［4］.1988年澳大利亚教育心理学家斯威勒（J.Sweller）等人提出了认知负荷理论［5］.该理论认为认知资源（即工作记忆容量）是有限的［6］.认知负荷分为内在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷，该理论认为这三种认知负荷的总量应限制在工作记忆容量的范围之内.

内部认知负荷是指工作记忆对认知任务本身所包含的信息元素及其交互性进行认知加工活动所产生的负荷［7］.当学习材料的内部认知负荷高于工作记忆容量的上限时，可以将学习材料进行适当分解，采用“小步子”教学来降低内部认知负荷；也可以通过呈现一些与新知学习具有实质性联系的引导性材料也就是所谓的“脚手架”，来降低内在认知负荷.对于新学习的高中函数定义而言，最好的“脚手架”就是初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数等具体函数模型.下面将以学生熟知的二次函数y=x2-1作为新知识的“脚手架”，通过几个引导性问题的思考与探究，最后师生协同完成用“集合”和“对应”概念给这个二次函数重新定义的任务，这里的重新定义，其实质就是用高中函数定义的方式重新来定义二次函数y=x2-1.这样处理的意图是分解和降低内部认知负荷.

外在认知负荷是添加给内部认知负荷的额外负荷，它是由学习材料的呈现方式及其所要求的学习活动所带来的负荷，主要是由于不恰当的教学设计所致［8］.可通过优化学习材料的呈现形式来控制或减少外在认知负荷.

相关认知负荷是在建构图式时不是必须但投入后又有利于图式建构的认知负荷，也与教学设计有关［8］.良好的教学设计虽然可能会适度增加学生的相关认知负荷，使之在图式建构中投入更多的努力，但它有利于图式建构和图式自动化.

二、数学家对函数概念的认识

14世纪法国数学家奥莱斯姆使用了图形表示依时间t而变的x.这可能是函数概念的萌芽.17世纪伽俐略、笛卡尔等注意到一个变量对于另一个变量的依赖关系.在牛顿、莱布尼兹创立微积分时，数学家还没有明确的函数概念，他们把函数当作曲线.1718年约翰·贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”.18世纪欧拉给出了函数符号f（x）.欧拉的定义是：一个变量的函数是由这个变量和常数组成的解析式［9］.简言之，函数即解析式（注：不严密）.1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示.1823年柯西认为函数不一定要有解析表达式.1837年狄利克雷指出：“对于在某区间上的每一个确定的值x，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数.”［9］至此，傅里叶、柯西和狄利克雷等对函数的认识更全面、严密了，标志着函数概念的成熟.

由此可见，函数概念从萌芽到成熟经历了300多年的时间，教师不能期望学生能在几节课之内把函数理解得很准确、很到位.

三、基于认知负荷理论的高中函数定义的“八步”教学设计

基于认知负荷理论，高中函数定义的教学，需要分解和降低内在认知负荷，控制或减少外在认知负荷，适当增加相关认知负荷，以期促进学生提升复杂认知任务（高中函数定义学习）的完成水平.据此，笔者构建了高中函数定义的“八步”教学设计，即“忆”—“激”—“问”—“探”—“粗”（“粗定义”）—“定”—“化”—“用”. 下面对这“八步”的基本含义、实施建议、设计意图作简要说明.

第一步：“忆”

“忆”是指回忆，也即复习旧知.

初中定义（选自1989年人教版初中教材）：“设在某变化过程中有两个变量x，y，如果对于变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.”

思考：x与y是怎样对应的？对应关系（法则）是什么？怎样理解对应关系（法则）？这几个问题留到后面的问题2中解决.

设计意图：复习初中函数定义的相关知识，一是为新知学习搭建脚手架，二是为同化学习创造条件.从而可降低新知学习的内在认知负荷.

第二步：“激”

“激”是指激发学习动机.

问题1：y=2是函数吗？

分析：由于初中函数定义要求“有两个变量”，但y=2中只有一个变量，因此，学生用初中函数定义来判断就可能有三种（或两种）意见：不是函数；不能判断；搞不清楚.

设计意图：问题1意在引发学生的认知冲突，激发学生学习高中函数定义的内在动机.这样安排虽然会适度增加学生的相关认知负荷，但能够激发学生的好奇心和求知欲，增加学习的内在动力.

第三步：“问”

“问”是指需要探究的问题.问题是探究的焦点.问题是激发思维的催化剂.任何探究（索）都基于问题.

问题2：已知二次函数y=x2-1，思考与探究下列问题：

（1）给定x的值，怎样计算x对应的值呢？其算法是什么？

（2）x的取值范围（集合）是什么？y的取值范围（集合）是什么？

（3）这个函数的对应关系（法则）是什么？

（4）数学家用什么符号表示函数的对应关系（法则）？

（5）能否用“集合”和“对应”等概念给这个函数重新下一个定义？

让学生先思考几分钟.

第四步：“探”

“探”是指问题的探究（索）.探究是解决问题的基本手段.探究源于问题，当面对的新问题不能用现成方法解决时，学生的探究意识就会自然产生.

探究：说明：教师和学生协同完成，尽量让学生完成.若学生说不完整或说不准确，则教师可边分析边讲解，教师补充完整或准确.

师：（1）这个问题有点抽象，可不可以先从具体化、特殊化着手，就是把x的值先取定，比如，我们不妨取几个试试.（下面做法是，教师说出上句“取x=…”，让学生说下句“则y=…”，不要求算出y的具体的值）

如果取x=3，那么y=32-1=…；

取x=x0，则y=（x0）2-1=x02-1.

师：现在，请回答这个二次函数的算法是什么？

生：“平方，减1”.

师：对.算法是“（对x）平方，再减1”.

师：由此，能不能看出一些规律？（学生讲不出来时，教师自问自答）

首先，x和y有先后之分，即先给出x的值，再去算y的值；

其次，对于x取不同的值，算出y的值总是只有一个；

再次，对于x取不同的值，算出y的值虽然可能不同，但算法都是相同的.也就是说，算法是不变的.从运算的角度看，这个二次函数实质上是给了一个确定的算法，且该算法具有不变性.

（2）x的取值范围（集合）是R，y的取值范围（集合）是{y|y≥-1}.

在函数理论里，一般把x的取值范围（集合）叫做定义域，把y的取值范围（集合）叫做值域.也就是说，二次函数y=x2-1的定义域是R，值域是{y|y≥-1}.

（3）这个函数的对应关系（法则）是什么呢？

首先，要明确x和y有先后顺序之分，就是用x去对应y.习惯上，一般把x叫做自变量（注：自变量的概念初中已学），y叫做因变量.

其次，在本问题中，对应关系（法则）就是“（对x）平方，减1”，即x→y=x2-1.

结论：在本问题中，对应关系（法则）可以理解为对x施加的一系列运算.简言之，本问题的对应关系（法则）就是算法.

（4）由（2）知，x∈R，y∈{y|y≥-1}，或y∈［-1，+∞）.也就是，x在实数集R里变化，y在集合{y|y≥-1}里变化.由x到y的对应可以引出实数集R到集合{y|y≥-1}的对应，这个对应可记为：R→{y|y≥-1}.

“对应关系”是数学中的常用术语，说与写都麻烦，数学家怎样解决这个麻烦呢？

著名数学家欧拉最早想到用一个“符号”来表示“对应关系”，他于1734年首次使用符号f（x）表示x的函数［10］.从此，数学家也用符号“f”来表示“对应关系”.

因此，本题中“从实数集R到集合{y|y≥-1}的对应关系”可记为“f：R→{y|y≥-1}”，“从x到y的对应关系”可记为“f：x→y”.

（5）综上可得下面的结论：

①在函数y=x2-1中，隐藏着一个对应关系f，这个f就是算法的意思，即“（对x）平方，减1”.

②f有三个作用：一是把x和y联系起来；二是隐蔽地把数集R和数集{y|y≥-1}也联系起来了，联系的方式叫做“对应”，即f：R→{y|y≥-1}，f：x→y；三是在f的作用（即算法规则）下，使得R中的每一个数都对应着数集 {y|y≥-1}中的唯一确定的数.

③用“集合”和“对应”等概念给这个二次函数的新定义：设f是从R到{y|y≥-1}的一个对应关系，若实数集合R中的每一个数都对应着数集{y|y≥-1}中的唯一确定的数，则称f是一个函数，记为y=f（x）.

总结上述过程，可引出数学概念的抽象概括和形成的一般过程，即“问题→分析→概念→定义→应用”.

设计意图：在问题2中，（1）的主要作用是让学生复习并加深理解求函数值的算法.（2）的作用是帮助学生理解x和y的变化是有范围的，另外自然地引出定义域和值域的概念，在这里给出定义域和值域的概念为后面学习函数定义可以减少内在认知负荷.（3）的作用是为学生提供一个理解“对应关系”并且学生很熟悉的模型即算法，算法对学生来说是非常熟悉的经验，这里把抽象的“对应关系”理解为“算法”，虽然是不准确、不全面的，但这里的“算法”可以看成是“对应关系”的“脚手架”，对学生理解“对应关系”这个抽象、模糊的概念很有帮助.（4）的作用是让学生认识函数中有两个对应关系（数的集合到数的集合，实数到实数），认识表示对应关系的常用符号f，使学生经历抽象化和符号化过程即“算法→对应关系→f”的抽象线路，反过来，就是理解f的（心理）线路即“f→对应关系→算法”.（5）的作用是得到这个二次函数的高中定义，并总结出数学概念的抽象概括和形成的一般过程，这对学生今后发现数学概念或给概念下定义来说具有方法论的价值，真是“授人以渔”.

第五步：“粗”（即“粗定义”）

“粗定义”：设f是从数集A到数集B的一个对应关系，若数集A中的每一个数都对应着数集B的唯一确定的数，则称f是一个函数，记为y=f（x）.

认知符号“f（x）”.给学生说明符号f（x）不是f与x相乘的意思，其中f叫做函数的对应关系，或对应法则.

设计意图：学生通过对问题及其变式的思考与探究，已经对“函数”概念有了初步理解，加之“粗定义”比较简短，所有理解“粗定义”就比较容易.函数的“粗定义”自然就成了函数（严格）定义的“引导性材料”.也可以说，此步的“粗定义”相当于是给第四步和第六步搭的一个“桥”.由于“粗定义”易于理解和接受，学生对“粗定义”的工作记忆的加工也不会发生困难.在讲“粗定义”的同时，顺便让学生提前认知函数的符号，意在为下一步学习定义时减少工作记忆加工的组块，也就是减少内在认知负荷，并有效控制外在认知负荷.

第六步：“定”（即定义）

“定”（即定义）是指函数的形式化定义，即“精定义”，或者说严格定义.概念教学的最终目标是达到定义的形式化标准，即达到定义的严密化、符号化、一般化等要求.

函数定义［11］：设A，B是非空的数集，如果按照某种对应关系f，使A中的每一个数x都对应着B中唯一确定的数f（x），那么就称f：A→B为一个一元函数，简称为函数，记作y=f（x），x∈A.

设计意图：给函数赋予形式化的定义与符号，使其形成一个具体的数学对象，不仅实现了定义的精致化，严密化，符号化，一般化，而且可有效促进学生将此数学对象融化到已有的认知图式中.

第七步：“化”

“化”是指函数定义的内化.学习的本质在于认知，认知的目的在于内化.内化就是使知识图式化、结构化、系统化和网络化，达到“言有尽”、“意无穷”的境界［12］.定义的内化可以从概念域、函数符号的读法、写法，指数与函数的等价互化关系等方面分别去图式化、系统化.

（1）概念域：自变量，因变量，定义域，对应关系，值域，函数，见表1.