一道解析几何压轴题的探究之路

☉江苏省无锡市立人高级中学 朱 翠

☉江苏省无锡市滨湖区教研发展中心 王华民

平面解析几何是高考的主干内容，而其中的“圆”作为考试说明的C级要求，是历年高考的重点考查对象.笔者任教于一所三星级高中，在一次期中考试试卷压轴题评讲过程中，有幸和学生一起进行了一次较为深入的探究活动，学生经历了一场思维风暴，收获颇丰.

一、探究过程摘录

试题 如图1，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1＜t＜2）上一点.

（1）已知

①若点P在第四象限，且OP=求过点P圆O的切线方程；

图1

②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围.

（2）略.

统计反馈：本题第（1）题的平均得分只有1.5分，尤其是其中的第②小题基本没几个同学得到分.

分析：该班学生“双基”较薄弱，但有几位同学思维较活跃，通过与学生的交流得知，由于时间紧张，部分同学就连题目都来不及看；解答的同学有不少是因为不会解方程而失分.于是在评讲试卷时，预留了3分钟时间给学生再思考，师生互动情境简录如下：

生1站出来分析题目：由题意可知过点P的直线斜率存在设为k，设直线方程为，与圆联立方程组，求出点A，B的坐标，接下来用中点公式表示出坐标间的关系.

图2

在生1的分析过程中，笔者观察到不少同学都是在若有所思的点头，看来还是比较同意生1的思路的.

刚等生1坐下，笔者还没来得及表示.

生2立马站出来否定了生1的做法.他说：老师，他的方法不可行，我考试的时候试过了.

听了他的话，一部分同学开始低头计算，我示意大家试试看.

由于B点才是中点，解题陷入了僵局，看来这不是解决这道题目的好办法.

这时候生3站出来说：我记得之前有做过一道题目，也是过一点P作一条直线，但它是恰为和两条直线的交点的中点.

话音刚落，同学们纷纷表示有这样的题目.

于是笔者追问：那么我们用了什么方法呢？

生3：用了两种方法，第一，设直线方程找交点，第二，直接设点列方程.

师：那么我们是否可以试试第二种方法！

生4：我考试的时候就用了第二种方法，可是也解不出来.生4委屈地站起来，展示了她的解题过程：

师：方程组有解等价于什么？

生：两个圆有交点，则两圆相切或相交.

生5：两圆心之间的距离介于半径之差和半径之和之间.

评析“：设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，当直线与曲线或曲线与曲线的交点不易解出来或无法解出来时，可以先设出交点坐标，然后往回代入.

师：请大家思考一下，生4未能解答成功的原因何在？

生4：没有对方程化简，没能看出几何意义，导致思维受阻.

就在大家都觉得这题完美落幕之时，生2站起来说：第二个圆的圆关于已知圆的圆心（0，0）对称，这是个巧合吗？

这时，其他同学也纷纷表示出了兴趣，是不是巧合呢？那我们来验证下.

教师掩饰不了心中的欣喜，说“来！我们大家一起给这位同学一个点赞吧.”

随后，教师有意给出了变式问题，与同学一道进行探究.

变式一：（改变已知圆圆心的位置）已知圆：（x-a）2+（y-b）2=1，把点B的坐标代入，化简4，得到圆心）关于已知圆圆心（a，b）对称.

于是得到结论1：第二个圆的圆心和点P关于已知圆圆心对称.

这时同学们纷纷来了劲，睁大眼睛也都要来找个“茬”.

一向沉稳的生6站了起来，她也提出了自己的想法：题目中点P的横坐标是定值，如果不是定值的话这个结论还成立吗？

变式二：（改变点P的坐标）如果点P在一条直线y=kx+c上（斜率不存在时，已在变式一研究过）

生6：可设点P（x0，kx0+c）（学生注意到点在直线上，可以只设一个未知数），则点，代入圆，化简得（x+x0-2a）2+（y+kx0+c-2b）2=4，则圆心P（′-x0+2a，-kx0-c+2b）与点P（x0，kx0+c）关于已知圆圆心（a，b）对称.

上述结论仍然成立.

生7是该班的数学尖子，此时，他觉得是时候大展一番拳脚了！他说：老师，如果满足条件的点P是平面直角坐标系上的任意一点（x0，y0），那么点P的轨迹是什么呢？

听了生7提出的问题，教室里一下安静起来，如果不把点P局限在一条直线上，那么所有满足条件的点P的轨迹是什么呢？这样一下子给学生出了个难题.谁也不能贸然给出个答案来，只有小声的在下面议论着，会不会是圆呢？还是线段呢？……

生7：我们何不来计算一下呢？

它是以（a，b）为圆心，3为半径之内1为半径之外的圆环.

结论：满足条件的点P的轨迹是一个圆环.

不少同学感觉到这应该结束了，可是平时不太发言的生8却站了起来：老师，第二个圆的半径为2，是已知圆半径的2倍.如果B是一个三等分点，那么第二个方程还表示圆吗？如果是，半径又是多少呢？

问题一提出，同学们已经跃跃欲试，拿起手中的笔开始计算起来.

圆心为P（′-2x0+3a，-2y0+3b），满足，半径则为已知圆半径的3倍.

如果是更一般的情况呢？

假设AB=λAP，设A（x，y），P（x0，y0），则B（λx0+（1-λ）x，λy0+（1-λ）y），代入圆得［λx0+（1-λ）x-a］2+［λy0+（1-λ）y-

圆心为，满足P′C=λP′P，半径为已知圆的

哇！太厉害了.同学们自动为此鼓掌，看得出来，每一个同学的脸上都写满了微笑，都收获满满.在热烈的讨论和积极的论证中，下课的铃声想起来了，“这堂课怎么这么快？”有的学生在感叹！

二、探究教学后反思

上完这节课，从课堂反馈，积极思考、主动提问、自动鼓掌、写满微笑，同学们愉悦、兴奋之情溢于言表，笔者和同学们一样，心情非常激动，久久难以平静.回味这堂师生探究的课，对于今后的数学教学有以下几点感受与启示.

1.感谢学生，一次灵感催生了一次数学探究之旅

高中课程标准倡导探究性学习，本课是一次真探究之旅，由一道压轴试题的统计分析，因得分率低，才决定上一次试题讲评课.探究的导火索缘于学生2提出的问题：第二个圆的圆心关于已知圆的圆心（0，0）对称，这是一个巧合吗？

2017年版数学新课标指出，数学课程要在学习和应用数学的过程中提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.“从数学角度发现和提出问题的能力”是学生的一个短板，由于高考指挥棒的影响，一般的教师关注重点也不在此.然而，这节课学生的表现却让教师看到了学生的潜力，本课在解决原试题后，正是由于一位学生的灵感发现，教师提出了一个变式问题：改变圆心的位置，在解决问题的过程中，又陆续有几位同学发现、提出了其他问题：改变点P的坐标→求点P的轨迹→改变B点的位置，催生了系列探究，同学们主动、积极思考，尝试、验证猜想，在发现事物内在规律的同时，训练了学生的思维，同时给予一些学生成功的鼓舞.试想，如果教师没有重视学生的灵感发现？没有对解析几何内容的深入理解，就可能错失了对于全班同学的一次难得的思维训练，错失了这一次精彩的课堂，这几位学生也少了一次成功的体验，岂不遗憾！

2.立足学情，营造探究氛围，学生进入火热的思考

本课同学们积极参与做数学、课堂出彩的表现，令教师惊讶.现象的背后有什么？在理解数学、理解学生的基础上精心设计.教学设计的出发点是学情，从学生的实际出发，不仅要了解学生已有的知识和经验，了解学生解决问题的困惑点，更应关注学生的兴奋点，并以此作为教学的起点，设计出与学生程度相匹配的问题串.一般三星级学校的学生存在的主要问题是基础不够扎实，对于解析几何问题，运算能力较弱，有时思路不通畅.但如果寻找到能引起学生兴趣的合适话题，许多学生还是乐于思考的，再加上教师先请数学积极分子带头，起抛砖引玉的作用，之后几位学生的不断发现，仿佛添了一把火，营造活跃的课堂气氛，全班学生都进入火热的思考，经历了一次思维训练，在挖掘出更深层知识、方法的同时，让学生充分感受到成功的喜悦！

3.教学改进，路在脚下，教师应有所作为

顾泠沅先生在世界课堂研究学会做了“课堂改进是关键”的主题演讲，笔者认为“课堂改进”是后课改时代教学改革的重点.课堂改进路在何方？其实就在脚下，透过这次探究之路，教师应在以下几方面有所作为，其一，改进课堂教学形式.从这节课可知，只要给出合适的探究素材，既使学校层次不高、学生基础不强，课堂中学生产生的探究热情也不低，同样收获精彩，所以教师关键要弄清三星级学校学生暂时落后的原因，是基础、思维还是认知习惯，改进教学形式，改变原来讲授式为主的形式，根据教学内容的特点，采用启发、对话式，引导探究式或合作讨论式，让更多学生参与到发现、提出问题中来，让学生积极参与做数学，从而体验数学发现和创造的历程；其二，教师要善待学生的意外发现，善于发现学生的闪光点，哪怕是其中一小点，哪怕是学生说错了，也要鼓励一番，多夸奖学生，发挥非智力因素的作用；学生有积极情态，就能有效迁移到课后作业、课后自主学习，进行独立思考，这样学生提升的幅度会更大；其三，要大面积提高教学质量，面对中低层次的学生，还需在夯实基础等方面着力，既要对重点、疑点处通过板演、交流多暴露一些问题，进行对比与优化，还要在关注运算思路的前提下，重点抓数学运算的正确率，在提升有效性的同时，发展学生的数学运算素养；其四，让班级的优生与困难生结成互帮互学的对子，班级成为互帮互相的学习共同体.这样，也就对教师自身提出了更高的要求，一方面.要多研究试题，在解题方面狠下功夫；另一方面，教师之间应增加学习与交流的机会，经常反思，提升自己的教学水平，从而成就我们的学生.F