高考数学压轴题中展现的数学核心素养

廖思卿

摘要：近年来，“函数与导数”专题在高考中所占比重越来越多，而这一类题着重考察学生的数学核心素养。在新课标的要求下，我们应该如何用数学的思想看问题，如何用数学的方法解决问题呢，这便需注重学生数学核心素养的培养。通过近几年的教育发展形势，我们不难发现，在中学数学教学中，数学新课标课程目标的集中体现出的是数学核心素养。笔者从数学核心素养的角度，通过对历年高考的典型真题进行命题意图的解析，分解答、评析、启示三方面进行详细的探讨，对高考复习起到一定的参考价值。

关键词：数学核心素养；函数与导数；解答；评析；启示

数学与每个人的日常息息相关，其设计到数量、空间、结构等方面的内容，是科学中的一个重要类别。现代社会科技发展迅速，随着计算机的普及，人们获取信息并处理数据的能力较以前有了显著的提升。最近一段时期，“大数据”概念受到越来越多的重视，其含义为信息爆炸时代中所伴随而来的庞大信息量。而随着“大数据时代”的到来，因为人们需要对信息进行数据化整理，使得数学在当今时代的大环境下显得尤为重要。

随着数学理论的广泛普及到各行各业，相关学术研究也迈向更深的层次。而在高中数学课程中，当代数学的核心素养也越来越重要。

通常认为，逻辑推理、数学建模、数学抽象、直观想象、运算能力还有数据分析这6个方面构成了数学的关键素养所在。而这六大核心素养不仅包含了高中生应具备的数学能力、数学意识等一系列的要求，这更是高中生数学能力软实力的一种重要体现。我将从近年来高考数学压轴题的分析中来赏析数学核心素养。

一、数学抽象与逻辑思维

数学抽象是数学哲学的基本概念，指抽取出数学对象的本质的属性或特征，舍弃其他非本质的属性或特征的思维过程：逻辑思维是人运用概念、判断、推理等思维类型反应事物本质与规律的认知过程。在数学抽象素养形成的过程中，有一个积累从抽象到具体的过程，而逻辑思维形成的过程在于学生能掌握推理过程并將其表述论证出来，高考压轴题中，一般要求考生善于挖掘题目的内涵，发现问题的本质，往往学生解答的过程就反应了学生的数学抽象与逻辑思维这两大核心素养。我们来看一下2014年四川卷理科第21题：

[评析]我们可以看到这道题的背景知识是二次函数与指数函数，考察了同学们的推理、运算以及创新能力。这道题阅读量小且人手易深入难，第一小问是常规问题在给定区间内求极值，但从大部分学生的解答来看，学生们在函数值计算上的问题较为严重满分率低。第二问为全卷的压轴题全面考察了学生数形结合、归化与转化以及分类与整合的解题思想，通过引入双参数来组成问题，并在函数零点的研究上设疑，而突破难点的关键也在于学生通过数形结合的方法与数学抽象的思想来获取解答思路，并不断的把问题归化与简化，而这样也能通过学生的解答过程中判断学生的思维是否严谨。

[启示]（1）提升思维高度，注重函数零点问题的教学。

此题的重点以及关键在于函数零点，而函数零点这一新增内容可以很好的提升学生的数学抽象与逻辑思维能力。而教材上两个零点的重要等价形式：函数y=h（X）有零点<=>函数y=h（x）的图像与x轴的交点<=>方程h（x）有实数根。而这个等价形式也恰恰体现了数学抽象与逻辑思维这两大数学素养，而且零点本质也是变量的临界状态，因此还能联系不等式f（x）>0解集区间的端点取值。这样我们便找到了一个基点来统一认识方程、不等式、函数。至此，在高一时认识函数的零点到高三回顾这个知识点显得很有必要。

（2）强化数形结合的思想，把握数学核心素养。

作为一道压轴题，这道题不仅考察学生的逻辑思维，更强调了对数学工具函数图像的重要性，着重的突出数形结合的解题思想，如果缺少了数学结合的分析过程，学生将很难下笔解题，而要拿满分，还需要学生具有缜密的逻辑推理能力。该题能够更加全面综合地对学生的数学素养进行评估。

二、数学建模与运算能力

数学建模的过程，是运用计算所获得的结论对现实中的难题进行处理，经过论证之后，搭建相应的数学模型：运算能力的含义为：借助相关数学理论来进行运算的技能。历年来，数学建模与运算能力在高考中作为压轴大题来全方位的考察学生的数学素养，下面是2011年四川高考数学理科卷压轴题：

[评析]这道题设置了三个小问，第一问是导数的基本问题，第二问是考查学生能否想到将方程两边化为同底的对数，去掉对数后通过图像来解析，第三问则是针对学生能否熟练使用数学归纳法来解题而设置了难点。总体来看，这道题集函数、导数、不等式等知识，综合了函数与方程、归纳与整合、数形结合、推理运算、等数学思想，着重考察了学生的数学建模能力与运算能力这两大数学素养。

[启示]这道题综合了函数、数列、不等式，与本题同类的题目虽然很多，但是本题更多的考察了学生对高中数学大部分知识点的应用，包括信息整合能力、推理运算能力、运算变形能力、创新思维能力等。而能否解答本题最关键的钥匙在于审题和探索解题思路。我们由此可以得出一个很重要却也很容易被忽视的结论：必须带着明确的目的性来解题，并且挖掘题目所给的隐藏条件，打破定式思维。所以在平常教学的偏重性上，教师应更注重学生的数学建模与运算能力的素质培养，达到“一题多解、一题多变、一题多导”的教学目的，并养成认真审题，跳脱固定解题思路的解题习惯。

三、直观想象及数据分析

直观想象的含义为：运用对空间的想象力以及几何图形的直观表现性，对物体形态和变化进行感受，通过对图像的解读来处理数学难题的手段：数据分析的含义为：收集有关数据用于分析某个问题的手段。

在高考压轴题中一般不会直接出题考核学生的这两大素养，一般会通过概率大题与立体几何大题来考查学生，而压轴大题中更多的是通过函数与导数的综合题来全方位的考察学生的数学综合素养。此处重点分析二零一一年陕西高考理科数学考试试卷卷的压轴题：

[评析]这道题分别考察了导数，不等式以及导数在函数中的综合应用，要求学生从已给的信息中来对函数和导数的理论进行综合的运用，借助函数的单调性特征，进而对问题进行理解并完成解答。在第二小问中比较函数大小，这里学生不仅可以通过用导数的方法做差来判断，也可以通过直观想象的方法来绘制函数图像，通过函数图像来判断函数大小，第三问让学生应用先假设，在分析后论证的方式来解答：从推理论证的方面能很好的反应出学生的直观想象与数据分析这两大素养。

[启示]（1）加强阅读理解能力，熟悉题目所给信息。

高考时间短，而压轴题难度普遍偏高，因此加强阅读能力，再短时间内熟悉题目的目的显得尤为重要，学生有必要对题目所给的信息进行凝练，并对其进行“新定义”，而当理解并掌握凝练出的“新定义”后就找到了本题的得分点

（2）培养解题习惯。

为了培养学生的数学素养，近些年，大部分压轴题都需要用到数形结合的思想以及分类讨论的数学方法，而这也正是在考察学生是否具备这样的解题习惯，而命题人也正是希望以这种方式来培养学生懂得如何自主学习，学会思考。而学生解题习惯的培养并非一朝一夕可完成，这不仅需要教师在平常的教学中为学生灌输数学的核心素养，更要求学生能自主的日积月累的进行构建，唯有以此方式，学生才能活用数学知识，并且养成一个好的数学解题习惯，

四、总结

在《课程标准》里面，对前文所提到的数学核心素养进行了定义和解读，通过对高考数学压轴题的分析，能够清晰地看出，压轴题都是围绕数学解题思维出发，承载相关理论基础，从多维度上对学生的数学核心素养进行评估。数学核心素养一方面可以教育学生在数学解题习惯上持续改良，一方面也能教育学生搭建其良好的数学思维，实现学生综合素质的提升。

因此，我们可以说数学核心素养是非常重要也是非常关键的。而要使学生养成数学核心素养，不仅需要教师明确其重要性，探索出教学中通往数学素养方向的途径，更需要学生能自主归纳与总结。综上所述，高考数学压轴题中展现的数学核心素养有助于引导学生养成正确的数学思想与数学习惯。