费恩斯列尔——哈德维格尔不等式的推进

2018-05-25李建潮

中学数学杂志(高中版) 2018年3期

关键词：恒等式维格等价

众所周知，在三角形中有著名的外森比克（Weitzenbocksinequatily）不等式（以下简称“W不等式”）：

在△ABC中，a，b，c为其三边长，Δ为其面积（本文下同），则

a2+b2+c2≥43Δ（1）

作为“W不等式”的出色加强当是著名的费恩斯列尔— 哈德维格尔（Finsler—Hadwiger）不等式（以下简称“F—H不等式”）：

在△ABC中，有

a2+b2+c2≥43Δ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2（2）

这一加强在初数研究中已流芳近一个世纪。趁寒假悠闲，激发起笔者对“F—H不等式”的一点新的欲望和期许……

1“W不等式”和“F—H不等式”的等价三角形不等式

在△ABC中，由余弦定理及面积公式，有

cotA=cosAsinA=2bccosA2bcsinA=b2+c2-a24Δ

等三式，及

tanA2=1-cosAsinA=2bc-2bccosA2bcsinA

=2bc-（b2+c2-a2）4Δ=a2-（b-c）24Δ

等三式.可見，（1）与（2）式分别等价于如下三角形不等式：

在△ABC中，有

cotA+cotB+cotC≥3（1′）

与

tanA2+tanB2+tanC2≥3（2′）

2一个相关三角形不等式“链”

联想起笔者曾在文[1]中所建的三角形不等式“链”（在△ABC中，有）：

cotA+cotB+cotC

≥13（cotA2+cotB2+cotC2）

≥12（cscA+cscB+cscC）

≥tanA2+tanB2+tanC2

≥12（secA2+secB2+secC2）≥3.

不由得茅塞顿开，领略到了作为“W不等式”的著名加强“F—H不等式”的真谛——三角形不等式（2′）加强了三角形不等式（1′）的缘故. 伴随而至地，作为更精准的三角形不等式：

secA2+secB2+secC2≥23（3′）

是否蕴育着F—H不等式的加强？我们的希冀可就在这里呵！

3F—H不等式的推进

记△ABC的半周长a+b+c2=s（本文下同），则由三角形恒等式：sinA2=（s-b）（s-c）bc，

等三式及面积公式，可得

secA2=1cosA2=2bcsinA2bcsinA

=2b（s-c）·c（s-b）2Δ

=b（s-c）+c（s-b）-[b（s-c）-c（s-b）]22Δ

等三式，一并代入（3′），并注意到2s-（b+c）=a等三式，有43Δ≤b（s-c）+c（s-b）-[b（s-c）-c（s-b）]2+c（s-a）+a（s-c）-[c（s-a）-a（s-c）]2+a（s-b）+b（s-a）-[a（s-b）-b（s-a）]2=a[（s-b）+（s-c）]+b[（s-c）+（s-a）]+c[（s-a）+（s-b）]-[b（s-c）-c（s-b）]2-[c（s-a）-a（s-c）]2 -[a（s-b）-b（s-a）]2=a2+b2+c2-[b（s-c）-c（s-b）]2-[c（s-a）-a（s-c）]2-[a（s-b）-b（s-a）]2.

由此可获得：

定理1在△ABC中，有

a2+b2+c2≥43Δ+[b（s-c）-c（s-b）]2+[c（s-a）-a（s-c）]2+[a（s-b）-b（s-a）]2 （3）

利用代数恒等式（ac-bd）2=（a2-b2）（c2-d2）+（bc-ad）2，可得

[b（s-c）-c（s-b）]2=（b-c）[（s-c）-（s-b）]+[c（s-c）-b（s-b）]2

=（b-c）2+[b（s-b）-c（s-c）]2，

等三式.所以，定理1亦可写成以下形式：

推论在△ABC中，有

a2+b2+c2≥43Δ+（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2+[b（s-b）-c（s-c）]2+[c（s-c）-a（s-a）]2+[a（s-a）-b（s-b）]2

由此可见，本文定理1是著名F—H不等式的推进，她与三角形不等式（3′）等价.

通过再深入地探研，笔者还得到了如下关于F—H不等式的又两个形式的推进：

定理2设△ABC的三边长为a，b，c，外接圆和内切圆的半径分别为R和r（以下相同），则