关于三角形边长一个猜想的证明及推广

笔者在文[1]中提出如下

猜想若a，b，c为△ABC的三边长，n∈N且n≥2，∑表示对a，b，c循环求和，则有

∑bn+cn-anb+c-a≤∑an-1.

在猜想中，上述不等式被记为D（n）.经研究，上述猜想是正确的.

证明由于a，b，c为△ABC的三边长，则有b+c-a>0，c+a-b>0，a+b-c>0，那么

∑bn+cn-anb+c-a-∑an-1

=∑bn+cn-an-b+c-aan-1b+c-a

=∑bbn-1-an-1b+c-a+ccn-1-an-1b+c-a

=∑bbn-1-an-1b+c-a+aan-1-bn-1c+a-b

=∑an-1-bn-1ac+a-b-bb+c-a

=∑an-1-bn-1ab+c-a-bc+a-bc+a-bb+c-a

=∑an-1-bn-1ac-a2-bc+b2c+a-bb+c-a

=∑an-1-bn-1ca-b-a+ba-bc+a-bb+c-a

=-∑an-1-bn-1a-ba+b-cc+a-bb+c-a

由于n∈N且n≥2，所以

當a≥b时有an-1≥bn-1；

当a≤b时有an-1≤bn-1，

故总有a-ban-1-bn-1≥0成立，那么

-∑an-1-bn-1a-ba+b-cc+a-bb+c-a≤0，

即∑bn+cn-anb+c-a-∑an-1≤0，所以有

∑bn+cn-anb+c-a≤∑an-1成立，即D（n）得证.

从证明过程看，我们可以将上述猜想推广为：

命题 若a，b，c为△ABC的三边长，p∈R，∑表示对a，b，c循环求和，则

当p≥1时，有∑bp+cp-apb+c-a≤∑ap-1；

当p<1时，有∑bp+cp-apb+c-a≥∑ap-1.

参考文献

[1]董林.关于三角形边长的一组优美不等式及猜想[J].中学数学教学，2015（6）.

作者简介董林（1975—），男，中共党员，高级教师，高青县教学研究室主任，主要从事教学研究和初等数学研究，近年来在各类专业刊物上发表论文180余篇.