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辅助线在解高中立体几何问题中的有效运用

2018-05-24马凌莎

环球市场信息导报 2018年2期
关键词:三棱锥辅助线垂线

马凌莎

作为高中数学的重点和难点内容,高中立体几何是每年高考都会考查的知识点,而且立体几何还能够与函数和数列相结合,题目的难度较大。基于此,笔者从个人学习经验和解题经验出发,分析了解答立体几何问题中,辅助线的有效运用,首先给出了正确添加辅助线的方法,然后分析了辅助线的运用思路,意在帮助同学们更加容易且正确地解答出立体几何问题,提升数学成绩。

观察高中立体几何问题可以发现,解题方式大都灵活多样,思路也比较宽泛,而且经常需要添加辅助线,使立体几何题目的解答更加容易。但是在实际的题目训练中,很多同学都不了解辅助线的重要作用,即使知道题目需要添加辅助线,也不明确辅助线的具体添加位置,使得立体几何问题的解答效率极低。因此,对于辅助线在解高中立体几何问题中的有效运用是很有必要的。

一、正确添加辅助线的方法

在实际的解题过程中,辅助线的添加具有一定的规则与思路,首先,要了解题目中的已知条件,并明确已知条件之间的关联;然后,尽量将空间问题转变为平面问题,使不同空间的直线转化为同一平面或者平行方向的直线;最后,根据已知的定理添加辅助线。对于高中立体几何问题来说,能够添加的辅助线种类非常多,需要根据实际的题目需求选择正确的辅助线进行添加。接下来,主要分析立体几何中垂线以及平行线的添加方法。

首先,垂线的添加方法,通过立体几何知识学习可知,其中的很多概念与基础知识都和垂线联系密切,比如,线面角和面面之间的距离等数学概念。因此,在解答立体几何题目时,如果题目中包含这些数学概念,就可以将已知条件中没有提及的垂线绘制出来,通过垂线的添加,构建空间三维坐标,再应用与垂线相关的数学定理,解答立体几何问题。

然后,平行线的添加方法,在立体几何中添加平行线的方法主要有三种:其一,面面平行,根据题目中已知的条件,作一个与已知面平行的面,从而使已知条件之中的线、平面相互平行;其二,线线平行,在已知的平面中,找到一條直线,使该直线能够与已知的直线相互平行,从而能够得出直线与平面相互平行的结论。其三,中位线法,这种方法是立体几何中应用最为广泛的辅助线添加法,这种方法主要应用于已知条件中包含中点的情况下,在三角形中作中位线,从而明确立体几何中直线与面之间的关系。

二、辅助线在解高中立体几何问题中的有效运用

简化复杂的立体几何问题。我们在解答立体几何问题的时候,经常会找不到解题的思路,感觉立体几何问题比较复杂,找不到突破口,而辅助线能够帮助我们简化复杂的立体几何问题,找到解题的突破口。比如下面一道例题,在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB与oc的长度相等,且两两垂直,底边AB中有一中点M,求OM和平面ABC之间的夹角大小。观察题意我们可以发现,这道题目主要是求直线和平面之间的夹角大小,首先出现在脑海里的解法应该是通过向量进行计算。但是根据题目的已知条件,构建坐标和向量过于繁琐,计算也十分困难。

我们可以通过添加辅助线的方法,将问题中的直线与平面夹角转变为直线与直线的夹角,这样求解的过程要更为方便。如图1所示,我们可以根据三棱锥的性质,从O点出发,做一条垂直于平面ABC的垂线,垂足为点D,我们以此得到直角三角形ODM与直角三角形ODC,那么问题中OM和平面ABC之间的夹角就可以转变为直线OM与直线CM之间的夹角,将三棱锥的棱长设为a,那么AB、AC与BC均为a,根据三棱锥的体积计算公式可得,该三棱锥的体积为1/6a3,由此计算出,。由于M是AB边中点,MC=,D是三角形ABC中心,由此可以计算,根据正切定义可以,OM和平面ABC之间的夹角满足公式,由此得出OM和平面ABC之间的夹角为。由此可以看出,在解高中立体几何问题的时候,不能将思维禁锢在空间向量上,如果根据题目已知条件发现存在线面角、线面垂直或者面面角与面面垂直的时候,就可以通过添加辅助垂线的方式,简化立体几何题目,求得正确的答案。

提升空间想象力。我们最早接触几何是在初中,对几何有了初步的了解,等升到高中,几何知识要更为深入,呈现出较强的空间感。但是很多同学在学习立体几何知识的时候,仍旧将自己的思维停留在初中阶段,在解答立体几何题目的时候,非常容易受到平面思维的影响,导致解题出现失误。除此之外,高中立体几何知识的难度也比初中的高一个层次,在初步了解立体几何知识之后,我们发现初中的很多定理仅适用于平面几何,立体几何知识要更为复杂,不仅包括计算与证明,还能够与函数和数列等知识相联系。我们可以通过添加辅助线的方式,更加容易地理解立体几何知识,正确解答立体几何题目,比如,立方体就是正方形通过向上平移,再将四个面连接成正方形而成,这样能够有效提升我们的空间想象力,为解答立体几何题目打下良好的基础。

解释立体几何的图形特点。在高中立体几何题目中,有很多题目为了加大难度,都会将已知信息进行隐藏,大多数同学都不能完全地将题目中隐含的信息提炼出来,使得题目解答出现错误。根据个人解题经验,对于立体几何题目而言,大部分隐藏信息都会体现在图形中,而辅助线则可以帮助我们找到图形中的隐藏条件。比如下面一道例题中:正方体ABCD-AIBICID1中,E、F、G分别为AB边、AD边和CID1边的中点,试证明平面DIEF∥平面BDG。在这道题目中,为了证明面与面平行,首先要确定结论中的平面,需要作辅助线连接BD、EF、DIF、DIE、BG和DG, 如图2所示。通过连接辅助线后可以采用线面平行方法进行证明,由于E和F分别是AB和AD的中点,可以得到EF∥BD,进而证明EF∥平面BDG。由于四边形DIGBE中有D1G∥BE,且D1G-BE,可证明四边形D1GBE为平行四边形,进而得出BG∥D1E。EF和D1E为平面D1EF中的两条相交直线,且都与平面BDG平行,由此可以得出平面D1EF∥平面BDG。

综上所述,辅助线的应用可以有效降低立体几何问题的解答难度,帮助同学们找到解题的思路。分析可得,通过对辅助线在解高中立体几何问题中的有效运用分析可知,我们需要认识到辅助线的重要作用,认真研读立体几何题目,在充分了解题目已知条件的基础上,正确添加辅助线,这样才能提高解答立体几何问题的效率,获取更高的分数。希望本文的探究可以为同学们解答立体几何问题提供帮助。

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