辅助线在解高中立体几何问题中的有效运用

马凌莎

作为高中数学的重点和难点内容，高中立体几何是每年高考都会考查的知识点，而且立体几何还能够与函数和数列相结合，题目的难度较大。基于此，笔者从个人学习经验和解题经验出发，分析了解答立体几何问题中，辅助线的有效运用，首先给出了正确添加辅助线的方法，然后分析了辅助线的运用思路，意在帮助同学们更加容易且正确地解答出立体几何问题，提升数学成绩。

观察高中立体几何问题可以发现，解题方式大都灵活多样，思路也比较宽泛，而且经常需要添加辅助线，使立体几何题目的解答更加容易。但是在实际的题目训练中，很多同学都不了解辅助线的重要作用，即使知道题目需要添加辅助线，也不明确辅助线的具体添加位置，使得立体几何问题的解答效率极低。因此，对于辅助线在解高中立体几何问题中的有效运用是很有必要的。

一、正确添加辅助线的方法

在实际的解题过程中，辅助线的添加具有一定的规则与思路，首先，要了解题目中的已知条件，并明确已知条件之间的关联；然后，尽量将空间问题转变为平面问题，使不同空间的直线转化为同一平面或者平行方向的直线；最后，根据已知的定理添加辅助线。对于高中立体几何问题来说，能够添加的辅助线种类非常多，需要根据实际的题目需求选择正确的辅助线进行添加。接下来，主要分析立体几何中垂线以及平行线的添加方法。

首先，垂线的添加方法，通过立体几何知识学习可知，其中的很多概念与基础知识都和垂线联系密切，比如，线面角和面面之间的距离等数学概念。因此，在解答立体几何题目时，如果题目中包含这些数学概念，就可以将已知条件中没有提及的垂线绘制出来，通过垂线的添加，构建空间三维坐标，再应用与垂线相关的数学定理，解答立体几何问题。

然后，平行线的添加方法，在立体几何中添加平行线的方法主要有三种：其一，面面平行，根据题目中已知的条件，作一个与已知面平行的面，从而使已知条件之中的线、平面相互平行；其二，线线平行，在已知的平面中，找到一條直线，使该直线能够与已知的直线相互平行，从而能够得出直线与平面相互平行的结论。其三，中位线法，这种方法是立体几何中应用最为广泛的辅助线添加法，这种方法主要应用于已知条件中包含中点的情况下，在三角形中作中位线，从而明确立体几何中直线与面之间的关系。

二、辅助线在解高中立体几何问题中的有效运用

简化复杂的立体几何问题。我们在解答立体几何问题的时候，经常会找不到解题的思路，感觉立体几何问题比较复杂，找不到突破口，而辅助线能够帮助我们简化复杂的立体几何问题，找到解题的突破口。比如下面一道例题，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB与oc的长度相等，且两两垂直，底边AB中有一中点M，求OM和平面ABC之间的夹角大小。观察题意我们可以发现，这道题目主要是求直线和平面之间的夹角大小，首先出现在脑海里的解法应该是通过向量进行计算。但是根据题目的已知条件，构建坐标和向量过于繁琐，计算也十分困难。

我们可以通过添加辅助线的方法，将问题中的直线与平面夹角转变为直线与直线的夹角，这样求解的过程要更为方便。如图1所示，我们可以根据三棱锥的性质，从O点出发，做一条垂直于平面ABC的垂线，垂足为点D，我们以此得到直角三角形ODM与直角三角形ODC，那么问题中OM和平面ABC之间的夹角就可以转变为直线OM与直线CM之间的夹角，将三棱锥的棱长设为a，那么AB、AC与BC均为a，根据三棱锥的体积计算公式可得，该三棱锥的体积为1/6a3，由此计算出，。由于M是AB边中点，MC=，D是三角形ABC中心，由此可以计算，根据正切定义可以，OM和平面ABC之间的夹角满足公式，由此得出OM和平面ABC之间的夹角为。由此可以看出，在解高中立体几何问题的时候，不能将思维禁锢在空间向量上，如果根据题目已知条件发现存在线面角、线面垂直或者面面角与面面垂直的时候，就可以通过添加辅助垂线的方式，简化立体几何题目，求得正确的答案。

提升空间想象力。我们最早接触几何是在初中，对几何有了初步的了解，等升到高中，几何知识要更为深入，呈现出较强的空间感。但是很多同学在学习立体几何知识的时候，仍旧将自己的思维停留在初中阶段，在解答立体几何题目的时候，非常容易受到平面思维的影响，导致解题出现失误。除此之外，高中立体几何知识的难度也比初中的高一个层次，在初步了解立体几何知识之后，我们发现初中的很多定理仅适用于平面几何，立体几何知识要更为复杂，不仅包括计算与证明，还能够与函数和数列等知识相联系。我们可以通过添加辅助线的方式，更加容易地理解立体几何知识，正确解答立体几何题目，比如，立方体就是正方形通过向上平移，再将四个面连接成正方形而成，这样能够有效提升我们的空间想象力，为解答立体几何题目打下良好的基础。

解释立体几何的图形特点。在高中立体几何题目中，有很多题目为了加大难度，都会将已知信息进行隐藏，大多数同学都不能完全地将题目中隐含的信息提炼出来，使得题目解答出现错误。根据个人解题经验，对于立体几何题目而言，大部分隐藏信息都会体现在图形中，而辅助线则可以帮助我们找到图形中的隐藏条件。比如下面一道例题中：正方体ABCD-AIBICID1中，E、F、G分别为AB边、AD边和CID1边的中点，试证明平面DIEF∥平面BDG。在这道题目中，为了证明面与面平行，首先要确定结论中的平面，需要作辅助线连接BD、EF、DIF、DIE、BG和DG， 如图2所示。通过连接辅助线后可以采用线面平行方法进行证明，由于E和F分别是AB和AD的中点，可以得到EF∥BD，进而证明EF∥平面BDG。由于四边形DIGBE中有D1G∥BE，且D1G-BE，可证明四边形D1GBE为平行四边形，进而得出BG∥D1E。EF和D1E为平面D1EF中的两条相交直线，且都与平面BDG平行，由此可以得出平面D1EF∥平面BDG。

综上所述，辅助线的应用可以有效降低立体几何问题的解答难度，帮助同学们找到解题的思路。分析可得，通过对辅助线在解高中立体几何问题中的有效运用分析可知，我们需要认识到辅助线的重要作用，认真研读立体几何题目，在充分了解题目已知条件的基础上，正确添加辅助线，这样才能提高解答立体几何问题的效率，获取更高的分数。希望本文的探究可以为同学们解答立体几何问题提供帮助。