合理构造函数巧解数学难题

刘勇华

[摘要]选取部分例题，剖析构造函数法在不等式、恒成立、最值问题中的应用，以帮助学生建立解决一类问题的方法，从而让学生学会举一反三、触类旁通.

[关键词]构造函数；不等式；恒成立；最值问题

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08002901

数学解题的过程是一个理性分析和智慧探究的过程.由于数学题目类型众多，解题方法多变，如果解题不得法，极易出现解题过程烦琐且错误频发的状况.应用构造函数法，可以优化解题的步骤和过程，快速、高效地解决不等式、恒成立、最值等难度稍大的数学问题.下面举例剖析，以供参考.

一、构造函数解不等式问题

有关不等式知识点的内容是高考的一个重要考点，它与函数的关系密切相关，尤其基本初等函数中的函数的单调性就是通过不等式来定义的.在解不等式问题时，可结合两者之间的关系构造函数，使问题迎刃而解.

【例1】解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.

解析：原不等式可变形为

2x+13+10x+1>x3+5x

.设f（x）=x3+5x，那么原不等式又可变为f2x+1

.由于函数f（x）为增函数，因此2x+1>x

，即

（x+2）（x-1）x+1<0

，得不等式的解集为{x|x<-2或-1

[点评]一道高次分式与不等式结合的解不等式问题，如果按照常规思路求解，即需要移项、通分、因式分解，最终很难产生结论.而通过构造函数，借助函数的单调性可巧妙地推出结论，思路新颖.

二、构造函数解恒成立问题

探究恒成立问题的一般思路是最值转化法，即通过求满足题意函数的最大值或最小值，从而求出参数的取值范围.函数的最值求解是我们所熟悉的常见题型，因此，可以将恒成立问题转化为求函数的最值问题而得解.

【例2】设n为正整数，an=1+

12+13+…+1n，bn=a2n+1-a2n-1

，若数列{bn}从第二项起以后所有项都大于2k-5，则k的范围为.

[点评]恒成立問题可通过构造函数，利用函数的单调性，求得函数的最值，从而使问题顺利得解.

三、构造函数求最值问题

构造函数解决与最值有关的问题是常见的一种解题策略，构造函数的关键是引入变量，通过对变量的探究和引申，从而求出研究问题的最值或取值范围.

【例3】已知A，B分别是椭圆G：x2a2

+y2b2=1（a>b>0）

的上、下顶点，P是椭圆G上的

动点，若PB的最大值为AB，则椭圆的离心率的取值范围为.

解析：设点P（x，y），由点P在椭圆上，有x2a2+

y2b2

=1（a>b>0）

，从而

PB2=

x2+（y+b）2=

a21-y2b2+

（y+b）2

=c2b2y2+2by+a2+b2

，由点P在椭圆上，故自变量y∈[-b，b]（而不是任意实数）.由于条件恰好给出了该函数取最大值的条件，即当y=b时取得最大值，即在区间[-b，b]的端点b处取得最大值，结合f（y）=c2b2

y2+2by+a2+b2

的图像，其对称轴y=b3c2

应满足b3c2

≥b

，从而可得其离心率e∈0，22.

[点评]在本题的探究过程中，根据函数的定义域，即椭圆上的点的纵坐标y的取值范围，结合所得的二次函数图像可得出关于b，c的不等关系.该题也可做如下变形：已知A是椭圆

G：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的右顶点，P是椭圆G上的动点，M（m，0），若PM的最小值为AM，确定m的取值范围.

总之，构造函数辅助解题是高中数学中常用的一种解题

方法

与技巧，它是函数思想和构造法综合应用的一种体现.应用

构造函数法的关键是根据题目的条件，利用函数的性质构造出满足题意的函数对象，从而使所求解的问题得以顺利解决.

（责任编辑黄春香）