函数图像上由动点产生的直角三角形解题策略

吴小兵

因为点的运动，讨论三角形能否成为直角三角形问题，是中考试卷的考查热点.解决这类问题时，我们常常需要分三种情况讨论，即究竟哪个角是直角.

一、构造一线三等角，借用相似解决问题

例1如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.

（1）求点A、B、C的坐标.

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由.

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

【思路点拨】

1.第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ=DC列方程.

2.第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论.

3.第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形.

【解答过程】（1）由

（2）直线DB的解析式为

如图2，由点P的坐标为（m，0），可得M

所以

当MQ=DC=8时，四边形CQMD是平行四边形.

图2

解方程得m=4或m=0（舍去）.

如图3，此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N（4，-2），Q（4，-6）.

所以MN=NQ=4，所以BC与MQ互相平分，

所以四边形CQBM是平行四边形.

图3

（3）设点Q的坐标为

①如图4，当∠DBQ=90°时，

所以

解得x=6.此时Q（6，-4）.

图4

②如图5，当∠BDQ=90°时，所以

解得x=-2.此时Q（-2，0）.

图5

【技巧说明】讨论直角的时候，通常题目讨论的直角三角形的两条直角边并不与坐标轴平行，这时我们可构造如图6的基本图形，将讨论∠ACB是不是直角，转化为讨论△ACF与△CBE是否相似.将对斜着的线段AC、CB的讨论，转化为对平行于坐标轴的线段AF、CF、CE、BE的讨论.

图6

二、借用直径所对的圆周角是直角，讨论三角形有没有可能是直角三角形

例2在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y=k（x2+x-1）的图像交于点A（1，k）和点B（-1，-k）.

（1）当k=-2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数在每个象限内与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图像的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值.

【思路点拨】

1.由点A（1，k）或点B（-1，-k）的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是.题目中的k都是一致的.

2.由点A（1，k）或点B（-1，-k）的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O.

3.根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形.

【解答过程】（1）因为反比例函数的图像过点A（1，k）与B（-1，-k），所以反比例函数的解析式是

当k=-2时，反比例函数的解析式是

（2）在反比例函数中，在每个象限内，如果y随x增大而增大，那么k＜0.

当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大.

图7

抛物线的对称轴是直线

所以当时，反比例函数在每个象限内与二次函数都是y随x增大而增大，如图7.

（3）抛物线的顶点Q的坐标是A、B关于原点O中心对称，当OQ=OA=OB时，△ABQ是以AB为直径的⊙O的内接直角三角形.

由OQ2=OA2，得

解得（如图8），（如图9）.

图8

图9

【技巧说明】如图8，要判定∠AQB=90°，只需保证OQ=OA=OB即可，因为当OB=OQ，OA=OQ时，∠A=∠OQA，∠OBQ=∠OQB，即可证明∠AQB=90°.这也是直角三角形常用的判定方法之一.

当然，讨论直角三角形的时候，如果能设出三角形三个顶点坐标，也可以利用两点间距离公式分别求出三角形三边长，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形也是直角三角形.