了解这几点，函数问题不出错

王爱玲

初中阶段学过的函数有一次函数、反比例函数和二次函数，涉及的知识点较多，易错点也较多.其中距离时间图像常与路程时间图像混淆；对于反比例函数和二次函数或者一个实际情境的函数应用问题，在求函数值的取值范围的时候，常常需要考虑函数自变量的取值范围，此处出错的频率也相当高.

一、距离-时间与路程-时间

例1如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地.两车同时出发，匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图像.

（1）填空：A，B两地相距_______千米.

（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式.

（3）客、货两车何时相遇？相遇处离C站的路程是多少千米？

图1

图2

【思路分析】（1）没有出发的时候，AB两地之间的距离等于AC之间的距离加上BC之间的距离；（2）根据D、P两点坐标，利用待定系数法求函数解析式即可；（3）客、货两车何时相遇？相遇处离C站的路程是多少千米？实际上就是求E点的横坐标和纵坐标，分别求出直线DP和EF的解析式，解方程组即可求出点E的坐标.

解：（1）由题意和图像可得，

A，B两地相距：360+60=420千米.

（2）设两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=kx+b，

由图像可得，货车的速度为：60÷2=30千米/时，

则点P的横坐标为：2+360÷30=14，

∴点P的坐标为（14，360），

即两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=30x-60.

（3）设客车离C站的路程y1与行驶时间x之间的函数关系式为：y1=mx+n，

即客车离C站的路程y1与行驶时间x之间的函数关系式为：y1=-60x+360，

【易错提醒】函数图像问题是初中数学的难点之一，路程时间图像更是一种常见题型，而距离时间图像的考查要求更高，而且极易与路程时间图像混淆，所以距离时间图像对同学们来说更是难点.

二、实际问题要考虑问题的实际情境

例2如图3，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.

（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；

（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？

图3

【思路分析】（1）可先用花圃的宽表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式.根据墙的最大可用长度a为10米求出自变量的取值范围.（2）根据（1）的函数关系式，将S=45代入其中，求出x的值即可.

解：（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24-3x）米.

这时面积S=x（24-3x）=-3x2+24x.

即自变量的取值范围是

（2）由条件得-3x2+24x=45，

即x2-8x+15=0，

解得x1=5，x2=3，

不合题意，舍去，

即花圃的宽为5米.

【易错提醒】在解决第（2）问的时候，在求出x1=5，x2=3之后，要根据实际进行适当取舍.

三、求函数的极值要考虑自变量的取值范围

例3求下列函数的最大值：

（2）y=-3x2+130x（10＜x≤30且x为整数）.

【解析】求这些函数的最大值，可以考虑先画出函数图像：

图4

图5

（1）观察图4可以发现，这是一个分段函数，最高点是函数d=-x2+4x+4图像的顶点，所以（1）题的最大值只需求出函数d=-x2+4x+4图像的顶点纵坐标.

（2）观察图5可以发现，图像的最高点也是这个函数图像的顶点，但尽管如此，由于本题自变量必须是整数，因此本题的最大值并不是时，而是x=22时.所以这个函数的最大值为-3×222+130×22=1408.

【易错提醒】在本题中，第（1）小题易错的是，如果不借助函数图像或者不能正确画出函数图像，会不容易找到最高点在什么位置；对于第（2）小题，如果不注意x是整数，也很容易出错.