基于奇异值分解和条件异方差的数字水印算法

刘红梅 干 彬 刘金华 赵明峰

1(四川传媒学院 四川 成都 611745)2(电子科技大学电子工程学院 四川 成都 611731)3(中国移动通信集团设计院有限公司四川分公司 四川 成都 610045)

0 引 言

在基于小波的图像水印嵌入和检测、图像去噪、图像复原等研究领域[1-3]中，一个关键的问题是建立小波系数的统计分布模型。常见的小波系数统计模型有高斯分布、柯西分布、混合高斯模型，以及Bessel K 分布模型等[4-10]，如文献[6]采用了Bessel K分布模型进行水印的检测，该分布是一类较为广泛的统计分布，相对于高斯分布而言，Bessel K分布模型可以较好地拟合小波系数，但是Bessel K分布没有考虑到小波系数尺度内和尺度间的关联性。文献[10]综合利用了广义高斯分布、柯西分布以及Rao分布模型与极大似然估计方法，提出了一种轻量级的小波域加性水印检测方法。该方法取得了较好的检测效果，但是该方法忽略了图像本身的视觉感知特性，水印嵌入后的不可感知性将受到影响。此外，在刻画小波系数时，如高斯分布、混合高斯分布等这些统计分布的均值假设都为零，主要是基于小波高频子带所有系数的特性来考量的，而图像的突变区域(如边缘和纹理区域)的小波系数均值往往具有较大的偏差，即它的直方图中心往往远离原点。

图像的小波系数一般具有非高斯特性，表现在直方图上也就是图像的小波系数在尖峰两端下降缓慢，诸如高斯、拉普拉斯分布类型的尖峰概率分布函数无法描述小波系数的非高斯性，导致图像水印检测算法的性能降低。近几年来，许多研究学者提出了其他的统计分布模型，如alpha-stable 分布函数[11]、广义高斯分布模型[12]，以及 Gauss-Hermite 分布模型[13]等。在水印的嵌入和检测上，这些改进的统计模型取得了相对高斯、拉普拉斯模型更好的水印性能。但是，这些模型没有考虑到图像小波系数之间的相关性，以及图像边缘和纹理等区域小波系数的高阶特性。

为此，本文利用条件异方差模型[14]对小波系数进行建模，并结合小波奇异值分解方法，提出了一种基于奇异值分解和条件异方差模型的数字水印方法。然后根据统计假设检验理论，对水印虚警概率与检测概率之间的工作特性关系进行了分析和推导。最后以标准的测试图像为研究对象，通过实验仿真验证了本文水印嵌入和检测方法的有效性，并且分析了提出的水印方法在抗噪声、JPEG压缩、滤波、旋转以及缩放等攻击条件下的检测性能。

1 条件异方差模型

设xij表示一个二维随机变量，如果它有以下形式，则称其服从二维条件异方差分布模型[14]即CH(p1,p2,q1,q2)，其中(p1,p2,q1,q2)是该模型的阶。

(1)

(2)

式中：Λ1=k|0≤k≤q1,0≤≤q2,(k)≠(0,0)，Λ2=k|0≤k≤p1,0≤≤p2,(k)≠(0,0)，εij表示一个独立同分布的二维随机过程，且满足标准正态分布，εij～N(0,1)。hij表示xij的条件方差。因此，二维随机变量xij的条件分布为：

(3)

式中：ψij表示一个信息集，可表示为：

ψij=xi-k,j-k,∈Λ1,hi-k,j-k,∈Λ2

(4)

CH(p1,p2,q1,q2)的模型参数可表示为Γ=α0,α01,…,αq1q2,β01,…,βp1p2，并且可通过极大似然估计方法来估计这些参数。似然函数可形式化为：

(5)

式中：φ=ij|1≤i≤M,1≤j≤N表示为大小是M×N的样本空间。

2 水印嵌入

本节利用小波变换和奇异值分解的方法进行水印嵌入。首先将图像进行分块处理，选取熵较大的图像子块作为水印嵌入空间，并对每个子块进行小波分解。然后对低频小波系数进行奇异值分解，对奇异值分解后的“U”成分进行加性水印嵌入。最后将嵌入水印的图像块和没有嵌入水印的图像块进行组合，得到整个嵌入水印信息的图像。其详细步骤如下：

1) 将原始图像划分成互不重叠的子块。根据式(6)计算每个图像子块的信息熵，按熵值降序排序，选取前K个熵值较大的图像子块作为水印嵌入空间。

(6)

2) 采用小波变换DWT对每个图像子块进行分解。

4) 提取小波低频子带图像奇异值分解后的“U”成分即Uij，对其进行加性水印嵌入，记为X=(x1,x2,…,xr)，r表示Uij矩阵的元素个数，设S=(s1,s2,…,sr)由伪随机生成器生成(i=1,2,…,r)，λ表示水印嵌入强度，那么水印信号为W=λS，嵌入过程可表示为：

Y=X+W

(7)

3 水印检测

水印的检测可作为一个二元假设检验问题，即：

(8)

式中：H1表示备择假设，即待测图像中存在水印H0表示零假设，即没有水印。

一般来说，在信号检测中通常采用纽曼皮尔逊(Neyman-Pearson)准则来检测信号。因此，本节基于对数似然率来做水印信号的检测，其目的是在给定虚警概率的条件下最大化水印的检测率。对数似然率可表示为：

(9)

研究发现图像的小波系数一般来说并不独立同分布，在图像中相似的位置中小波系数的幅度、方向和尺度存在高度相关关系[15]。因此，考虑到小波系数之间的异方差性，本节基于条件异方差模型来刻画小波系数，即图像的小波系数满足二维条件异方差模型分布，对数似然率可进一步表示为：

(10)

式中：ψij和φ由式(4)和式(5)定义。根据式(3)，式(10)可以表示为：

(11)

将式(2)中的hij代入式(11)，经推导，对数似然率为：

(12)

由中心极限定理可知，lnΛ(y)满足高斯分布。因此，虚警概率和检测概率[13]的计算可分别表示为：

(13)

(14)

进一步，在盲检测过程中，给定虚警概率Pf，检测阈值可确定为：

T=μ0+σ0Q-1(Pf)

(15)

根据式(13)和式(14)，可得水印检测的工作特性曲线关系ROC(Receiver Operating Characteristic):

(16)

式中：SNR(Signal -to-Noise-Ratio)表示信号噪声比率，即SNR

4 仿真结果与分析

限于篇幅，本节仿真中对Barbara和Plane两幅标准图像进行水印嵌入和检测，图像的像素大小均为512×512。基本参数设置为：图像块大小16×16，小波滤波器“sym4”,文档水印比值DWR为38 dB，选取的图像子块数为128，每个子块中嵌入水印的低频子带系数为64个，水印的容量为8 192。仿真环境在CPU 2.6 GB，内存为8 GB的PC机下进行，采用的工具为Matlab2010。

对Barbara和Plane两幅图像进行水印嵌入后的结果如图1所示。其中图1中上边部分是Barbara嵌入水印前后的图像，下边部分是Plane嵌入水印嵌入的图像。图1中的左边表示宿主图像，中间表示嵌入水印后的图像，右边表示宿主图像与含水印图像之间的差值图像。Barbara和Plane图像嵌入水印之后的图像与对应原始图像之间的峰值信噪比分别为52.261 8和50.861 3 dB。因此，嵌入水印信息后图像的不可感知性能较好。其原因主要包括两个方面:一方面是综合考量了图像的信息熵特性，这样将水印信息嵌在图像灰度密集度较为丰富的区域，提高了图像水印的不可感知性；另一方面是对图像子块的小波低频子带进行了奇异值分解，对奇异值分解后的“U”成分进行加性水印嵌入，“U”成分能够保留图像的大部分信息，在该区域嵌入水印，较好地保持了图像的保真度，增强了图像水印的鲁棒性。

(a) 原始图像 (b) 嵌入水印后的图像 (c) 差值图像

图2至图7分别给出了文中提出的数字水印方法与Bessel K方法[6]、广义高斯方法[12]以及线性相关方法[16]在未受攻击和受攻击下的检测性能比较结果。限于篇幅，以嵌入水印的Barbara图像为测试对象，文档水印比值为35 dB。图2对应的是无攻击下的水印检测结果；图3对应的攻击为加性高斯噪声，噪声方差为25；图4对应的攻击为JPEG压缩，压缩质量因子为50%；图5对应的攻击为中值滤波攻击，窗口设置为5×5;图6对应为椒盐噪声攻击，噪声密度为0.20；图7对应为幅度尺度缩放攻击，缩放因子为0.40。

图2 无攻击时的ROC曲线

图3 AWGN攻击下的ROC曲线

图4 JPEG压缩攻击下的ROC曲线

图5 中值滤波攻击下的ROC曲线

图6 椒盐噪声攻击下的ROC曲线

图7 缩放攻击下的ROC 曲线

对于没有受攻击下的水印检测来说，如图2所示，提出的数字水印方法的检测性能优于其他三种方法，而Bessel K方法和广义高斯模型的检测性能表现都较好，并且都优于线性相关检测方法。

图3至图6为不同程度的攻击下的水印检测性能结果，从这些图中可以看出，水印的检测性能均有不同程度的下降，其中线性相关检测方法的性能下降得最快。但综合起来看，提出的水印方法检测性能均优于其他三种数字水印方法。线性相关检测方法的性能最差，主要是基于小波系数的统计分布为高斯分布进行考量，其原因是高斯分布难以刻画小波系数的非高斯特性，因为图像中的小波系数在尺度间和尺度内都存在着较强的相关性；另一方面虽然Bessel K检测方法和广义高斯方法能够较好地对整个图像小波系数进行统计建模，但是它们和线性相关检测方法一样，忽略了小波系数的异方差性，导致它们在抗水印攻击下的检测性能下降幅度较大。提出的水印方法采用条件异方差模型对小波系数进行统计建模，较好地克服了以上问题，水印检测的性能表现较好，进一步提升了水印的鲁棒性。

5 结 语

利用奇异值分解较好的能量保留性质和条件异方差模型方法较好的小波系数刻画能力，提出了一种小波域图像水印嵌入和检测算法。该算法选取了图像熵较大的子块作为水印隐藏空间，并且利用了奇异值分解后的“U”成分矩阵进行加性水印嵌入，较好地保留了图像的细节信息，提高了图像水印的不可感知性和鲁棒性。另一方面还利用了条件异方差模型的异方差特性，较好地描述了图像的小波系数。文中对水印虚警概率和检测概率之间的工作特性曲线关系进行了理论分析，最后通过实验仿真验证了水印嵌入方法的有效性以及在抗噪声、JPEG压缩、滤波、旋转以及缩放等攻击下的检测性能。

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