化归方法在中学数学解题中的运用

李森城

化归方法是研究数学问题，解决数学问题的一种重要思想方法，是数学方法论中研究的一种最基本、最典型的方法。化归方法在数学解题中的应用概括起来即为化未知为已知，化数为形，化实际问题为数学问题等三个方面。化归方法在数学解题中运用广泛，特别是在高考数学的解答题中，如在三角函数，立体几何，数列题，解析几何，应用题中等等。

一、化归方法在三角函数题中的运用

三角函数是高中的重要知识点，因为它蕴含着丰富的数学思想方法，而化归方法在三角函数中运用非常普遍。学生掌握好化归方法，将对解三角函数问题有很大的帮助。化归方法在三角函数中的运用主要体现在化未知为已知。已知和未知是相对的。在一定的条件下，未知和已知可以相互转化，也就是说未知可以转化为已知，已知也可转化为未知，这种解法上的转变，往往可帮助我们找到解题的方向。

例1已知 ，若 ，且 ， ，求 。

分析 该题若将 转化为[ -（ - ）]，再运用公式展开，则容易求解。

解 ∵ ， sin = ，∴cos =

∵

三角函数解答题往往是高考解答题的第一题，难度一般不大，涉及的知识点较多，考生需熟练掌握相关的公式和性质。解答三角函数最常用的数学方法即化归方法。在解答三角函数题时，我们不要急于利用公式对函数进行化简，先想想能否通过已知的条件或者隐含的条件，把未知化为已知，从而找到解决问题的简便方法。

二、化归方法在立体几何题中的运用

立体几何是高考的必考知识点，有些学生的空间思维不好，对于一些较难的立体几何题无从下手。有些立体几何题往往存在一些捷径，知识点的灵活运用是其中的关键，而化归方法就是其中的一个捷径。对于有些立体几何题，我们往往可以通过化归把问题变得简单，进而快速找到解决问题的方法。化归方法在立体几何中的运用主要体现在求异面直线的夹角，求锥体的体积和线线、线面垂直的证明等等。

例2 已知在正方体 中， ， 为棱 的中点，求三棱锥 的体积。（见图1）

分析 由于三棱锥 的高不易求出，而三棱锥 的高容易求出。因此，我们可以把求三棱锥 的体积转化为求三棱锥 的体积。

解 根据正方体的性质，可知 为三棱锥 的高

为棱 的中点 ， =1

立体几何是高中数学的一个重要内容，从平面几何到立体几何是一个难度较高的台阶。因此，立體几何成为初中数学进入高中数学学习的一道障碍。利用化归方法来解立体几何问题是一种很有力的工具。我们在解立体几何题时，应当熟悉和掌握这一工具，并能自觉地运用这个工具。

三、化归方法在数列题中的运用

数列通项公式的求解，是高考数学中的难点之一。求解数列通项公式的方法多种多样，分析、推理能力要求较高。不少既非等差又非等比的数列，却可以通过适当的变形，化归为一个等差数列、等比数列或一个较为容易求出通项的数列，进而再求出原数列的通项公式。构造法是求解数列通项中常用的化归方法。构造的途径有多种多样，我们需具体问题具体分析。

例3 已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式。

分析：首先对 两边取倒，可得到 的通项公式。那么求数列 的通项公式就化归为先求 的通项公式。

解 对 两边取倒，得 =

即 ，那么数列 是一个以首项为 ，公差 的等差数列

则

由数列的递推关系求数列的通项公式的情况很复杂，而求数列的通项公式，最常用的方法就是化归方法。求数列的通项公式，我们应该立足于等差、等比数列的基础，借助倒数关系、对数关系、函数关系等，进行一系列的转化、化归，就能很好的解决问题。

四、化归方法在解析几何题中的运用

解析几何一直是高考数学的重点和难点知识。在高中课本中解析几何包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等相关知识。初学者必须非常熟悉这些知识的基本内容和它们的相关性质。对于高三的学生需要进一步掌握解析几何中曲线之间的知识衔接和整合性问题，解决难度较大的综合性的题目。在做解析几何的题目时，我们应当通过思想方法看到解析几何最值、范围类问题的数学本质，即通过转化，化归，利用数形结合来解决问题。

例4 已知实数 满足圆方程 ，求 的取值范围。

分析 对 进行变形，得 把求 的取值范围化归为圆 上的动点到定点 的连线的斜率的取值范围。

解 令 则 可看作圆 上的动点到定点 的连线的斜率，

当直线与圆相切时，设直线方程为 ，即

圆心到直线的距离 解得

解析几何的基本思想就是利用代数的方法来研究几何，最基本的做法即把几何问题转化为代数问题，用代数的知识解决后，再到几何中去。所以，化归方法是解答解析几何题的基本方法。通过化归，利用数形结合即可得到问题的答案。五、化归方法在实际问题中的运用

随着科学技术的不断发展，教育改革的不断深化，其他相关学科及生活、生产实际都离不开数学知识，它们与数学知识的联系更为紧密。在近几年的高考中，对应用题的考察频频出现，而解决应用题的关键在于把实际问题化归为数学问题。

化归方法在实际问题中的作用越来越重要。在实际生活中，所谓的化归方法解决实际问题就是建立数学模型，把实际问题转化为数学模型，通过求解数学模型来解决实际问题。

在解题过程中，运用化归方法，可把未知的问题化归为已知的问题、把复杂的问题化归为简单的问题、把非常规的问题化归为常规的问题，使问题变得简单，从而得到解决。中学生如果掌握了化归方法的使用，就能从更深层次上揭示知识与知识间的内部联系，进而提高他们分析问题、解决问题的能力。