追逃定性微分对策中界栅的确定

于 飞， 李 擎， 张 昊

(北京信息科技大学高动态导航技术北京市重点实验室，北京 100101)

0 引言

无人机与无人车是信息化装备体系的重要组成部分，在军事中投入使用可显著提高军事作战能力，此外，可以在核、生物和化学战争环境中执行物资运输、目标识别以及环境勘测等任务。微分对策理论为军事对抗问题提供了较为完善的模型[1-4]，定性微分对策中界栅的确定是研究热点之一[5-8]。应用追逃微分对策分析时，对局环境中的障碍物的影响会被考虑[9-10]。文献[11]为了解决固定翼无人机追踪地面移动车辆的问题，运用微分对策理论进行定量分析，得到防止目标丢失的最优策略。本文在无人机、无人车的追捕对抗过程中，考虑对局环境中障碍物的影响，定性分析追逃微分对策，确定其分界界栅。无人机配有固定摄像头装置，可以提供足够的视觉分辨率，在野外作战现场自动跟踪地面的无人车，使其始终处于观测范围之内;无人车则根据自身运动特性以及周围环境来躲避无人机的追踪。对局双方为单一的追捕者和躲避者，无人机希望最大化延长无人车在其有效可视范围之内的时间，无人车希望尽快逃避追捕。

1 建模与分析

设定P代表追捕方无人机，E代表躲避方无人车。假设P和E分别以速度vp，ve在平面上匀速运动。P的目的是迫使局中人E进入目标集D,并捕捉E，从而结束对策，而E的目标正好相反，试图阻止或者拖延对策结束,如图1所示。

P可以以速度vp在平面内任意活动，滚转角、俯仰角保持不变，偏航角控制为v；躲避E以速度ve运动，转向控制记为u；P和E均可以完成瞬时的转向。博弈具有一个完美的状态反馈信息结构，因此，当参与者在进行博弈时，能够不受干扰地知晓整个过程中的状态变化，从而确定下一个动作。

图1 对局示意图Fig.1 Game diagram

对局环境中存在树木形成的障碍，这会对双方产生影响。追捕者希望在尽可能长的时间内将躲避者保持在可视区域，躲避者希望在最短的时间内打破视线。某一时刻，如果躲避者不在捕获者的视线之内，此时对局终止。

(1)

由于无人车可以瞬时转向，因此其方向控制:当u=+1时,向右运动;当u=-1时，则向左运动。

在设定的场景中，对局双方视为点运动物体，除了有界速度之外，它们的运动没有任何限制。与经典情况一致，这里无人机与无人车的速度之比k=vp/ve>1。对局环境中仅包含限制追捕者和躲避者运动的障碍，对局双方都有独立决策权，他们根据实际情况采取决策,控制局势朝着有利于自己的方向发展。

P和E都可以控制各自的方向，且各自转向控制分别为v,u。当P与E之间的距离小于L时,则认为被捕获，此时对局结束。作简单的分析不难得到表1中的4种结局。

情况2中P在机动性能上占绝对优势，所以总能捕获到E；情况3中E在机动性能上占绝对优势，所以总能逃脱P的追捕。这两种情况对局结果是确定的，没有深入研究的意义，下面将对情况1和情况4这种双方互有优、劣势的对局结果进行探讨。情况4中vp>ve，v

表1 运动性能与结局的关系

定义d=(xe-xp,ye-yp,ze-zp)为追捕者的瞬时位置到躲避者的瞬时位置的指向向量,ve(t)和vp(t)分别为t时刻躲避者与追捕者的速度向量，于是有‖ve(t)‖=ve<‖vp(t)‖=vp。

定理1在任一时刻t0，如果追捕者的速度向量vp(t0)与相对位置向量d(t0)的内积非正，即如果

d(t0),vp(t0)≤0

(2)

则t≥t0时P不能捕获到E，E成功逃脱。

证明 不失一般性，设t0=0。为了证明这个定理，只需找到一个E成功逃脱的例子。假设在t≥0的任意时刻,P都不改变其速度方向，相对位置向量d满足

(3)

(4)

鉴于P的约束性，定理1的证明说明,只有P的速度向量的分量指向E时捕获才会发生，这种情况下P的最优策略是尽快增大指向E的速度分量，如果这个分量增加得较慢，捕获将可能无法完成。另一方面，如果P一直没有指向E的速度分量，则E可凭借其机动性优势成功逃避追捕。

2 对局策略

如表1所示，在情况1和情况4下，P和E各有优势，对策空间可以划分为 2 部分。一部分为捕获区，另一部分为躲避区，其分界面为界栅，记作D。

H(x,y,u,v,λ)=λ1vpcosv+λ2vpsinv+λ3veu

(5)

Hp(v)=vp(λ1cosv+λ2sinv)

(6)

He(v)=λ3veu

(7)

在λ1,λ2均为0的情况下，v可以取任何值，P可以遵循任何控制策略。 类似地，如果λ3=0，那么u可以取任何值，并且E可以遵循任何控制策略。这些条件代表了哈密尔顿算子的奇异点。

H(x,y,u,v,λ)表示状态的变化率。如果轨迹X在∂D上或者充分接近∂D，并且H(x,y,u,v,λ)>0，那么轨迹X不能穿过∂D；反之，即H(x,y,u,v,λ)<0则轨迹X穿过∂D,此时对局结束。因此，从P与E各自的目的出发，P欲使H<0,而E欲使H>0。哈密尔顿函数H(x,y,u,v,λ)中含有控制变量u,v，因此P应该选择最优策略v，使H(x,y,u,v,λ)∂D在目标边界集合∂D上取得尽可能小的负值以保证对局结束，而E应选择最优策略u使H(x,y,u,v,λ)∂D取得尽可能大正值以实现逃脱，即

(8)

(9)

(10)

式中：u=+1,说明沿x轴的正方向运动;u=-1,意味着朝相反方向运动。所以可得

(11)

3 界栅的确定

树木覆盖会对无人机和无人车的视线造成影响，进而影响对局结果。本文把树木作为对局环境中的障碍，对树木的影响进行建模分析。追捕者成功追捕到目标，或者目标丢失都会导致对局结束。

按照设定场景，给出了树木障碍物存在的情况下对局终止的两个充分条件：1) 当无人车处于无人机的有效观测距离之外时，认为目标丢失；2) 虽然无人车在无人机的有效观测距离之内，但是两者视线被障碍物阻挡，相互不可见。以上两种情况分别对应图2a和图2b。

图2 对局情况分析Fig.2 Game situation analysis

(xe-xp)2+(ye-yp)2-L2≤0

(12)

同样，选取三角形底边顶点为(xT,yT)，将条件2)向xoz面投影，条件2)可以表示为

(13)

上述两个条件得到满足时，对局终止,可得终端集

F=(xe-xp)2+(ye-yp)2-L2+(xp-xT)·
(ye-yT)-(yp-yT)(xe-xT)=0

(14)

由终端集可得参数方程

(15)

式中,s=(s1s2s3)T。

在界栅D上的法线向量λ满足

(16)

因为法线向量的长度是任意的，故可取λ为单位法线向量，在∂D上同样有λT·λ∂D=1，联立式(10)可以求出确定目标边界集∂D上的单位法线向量λ。

(17)

代入式(9)，可以得到最优策略u*,v*。

(18)

积分可得

(19)

设置P的初始化坐标为(0 m,0 m,29 m)，E的初始坐标为(3 m,5 m,0 m)，速度比为k=1.14，捕获半径L=200 m。当障碍点在(5 m,5 m,5 m)时，得到图3a所示三维空间界栅。

图3 界栅Fig.3 The barrier

界栅D对应的是穿过BUP的半透曲面，为方便观察将图3a朝xoy平面投影得到图3b。图3b中圆和双曲圆弧代表目标集在xoy平面的投影，蓝色阴影部分是由界栅D和目标集围成的捕获区，在捕获区内运动，轨迹将到达目标集的边界并穿过。在此区域内，只要P使得E进入该区，则无论E采取何种策略，在P选择适当的策略下，E再也不能逃出该区，即捕获E。捕获区之外为躲避区，在此区域上，只要E初始位置在该区中，不管P采用何种策略，E总能采取适当的策略躲避P的捕获。

4 总结与展望

分析对局环境中存在障碍物约束的追逃定性微分对策，建立了无人机、无人车的运动模型，通过分析确定了躲避区与捕获区的分界界栅。不同的障碍物对界栅的形状会有不同的影响，分析界栅的形状、对策空间的划分对于作战能力评价、指导指挥训练、作战等都有一定的意义。未来，对局双方更复杂的运动模型，以及其他形状的障碍物将会进一步讨论。

参 考 文 献

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