在继承中变通 在变通中创新——“鸡兔同笼”问题的教学探究

江苏启东市海复小学（226200） 黄永娟

当今的课堂，在面对古代的问题时，绝不能简单地学习积累前人的解决方法，也不能单纯地从学习数学文化的价值来考量，而是应该充分领会并吸收前人留下的宝贵经验和创新精神，培养学生的数学素养。笔者深入钻研教材后，发现各个年级都涉及对“鸡兔同笼”问题的探究。那么，如何利用“鸡兔同笼”问题激发学生的创新意识，培养学生的数学素养呢？

一、问题导学，引导学生自主探究解题方法

【例题1】铁笼里有鸡、兔共8只，26只脚，试问鸡、兔各多少？

1.猜测（列表）法（如下表所示）

鸡 7 6 5 4 3 2 1兔 1 2 3 4 5 6 7脚 18 20 22 24 26 28 30

对鸡与兔的只数一一进行猜测，并将相关数据填入表格，分析表格中各项数据，找出符合要求的那一项即为答案。

2.画图法

画法1：先单独画8只鸡，合计16只脚，少了10只脚。1只鸡变为兔就会增加2只脚，于是只要用画笔添上两只脚，鸡就变成兔。而要增加10只脚，就要换掉5只鸡。

画法2：先画8只兔，共计32只脚，多出6只。1只兔变为鸡就会减少2只脚，于是只要用橡皮擦除两只脚，兔就变成鸡。而要删去6只脚，就要换掉3只兔。

3.假设法

（1）假定全是鸡，8×2=16（只）（试验脚数），26-16=10（只）（10只脚的差额是因为兔子的缺位造成的），4-2=2（只）（一只兔换成一只鸡后缺损的脚数），10÷2=5（只）（有5只鸡要还原成兔，兔子数为5），8-5=3（只）（实际的鸡数）。

（2）假定都是兔（解题过程略）。

二、创设新情境，引发创新思考

创设新情境：在联欢会上公鸡们表演“金鸡独立”，它们一只脚站立在地面上，另一只脚抬起，而玉兔则表演兔子作揖，将前肢抬起。

这个情境实际上是娱乐版的“鸡兔同笼”。用题目创新激励学生进行解法创新思考。实际上如果理解了“抬脚法”，解答便会开启极简模式。

解法如下：26÷2＝13（只）（都举起半数的脚，落地的脚数），13-8＝5（只）（兔）（在此基础上每个动物再“交出”一只脚，多余的就是兔子的脚数，也就是兔子数），8-5＝3（只）（鸡）。

实际上，如果鸡都抬起左脚，兔都抬起前肢，总脚数就减少一半。这时的情境为：1只鸡还余1只脚撑地，鸡脚数与只数对应；但1只兔还站着2只脚，脚数比只数“多1”。对此，比基本脚数（只数）多出的脚数全部是兔子的。“比基本脚数多出几只脚，就有几只兔”这个原理我们称之为“余额再分配原理”。所谓“余额再分配”，指两种事物的数量相比较，一种事物某部件数量和整体数目对等，另一种事物相关部件数量则比整体数恰好多一倍。

三、共性转为特性，创造创新多法解题

实际案例中，符合这种苛刻条件的情境少之又少，但是，如果细心研究，找到共性，转化成“余额再分配”特性，就能将所有问题划归为一类。

【例题2】30名同学一共折叠80只纸鹤，男生每人折3只，女生每人折2只，求男、女生的人数。

乍看此题并无“余额再分配”特性。仔细分析发现：如果用总数量除以2，女生人数就和折后的只数对应，男生人数与折后只数的对应关系就是每人对应1.5只，多出了半只，即每多出0.5只就对应一位男生。

实际上还可以做另类变通，不做除法让每位学生拿出半数的纸鹤，而是做减法让每位都“捐出”1只纸鹤，解答会更简单。

综上可知，“余额再分配原理”的适用范围还是很宽泛的。不管怎样，实用才是铁律。解题时，只要灵活掌握“余额再分配”思想，随机应变，通过有效转化一定能实现简便解题。