中学数学教学中对解题方法和解题策略的探索与研究

赵建慧 董晖

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来.只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新观点、新看法、巧解法.也就是说只有内化的东西才能充分外显，只有将知识转化为自己的东西，才能灵活应用，所以要注重学生的自主探索，平时的归纳总结是很重要的.

目前的高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光.

目前的高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：

常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消元法；

数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；

常用数学思想：函数与方程思想，数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等.

但解数学题若囿于一种思维方式，按常规方式分析思考，有时解起来很麻烦，甚至有解不出来的现象.此时不妨从多方面观察思考，全方位审视题意和多角度探讨解法，则有益于解题捷径的获得，解题决策的优化.

数学解题的思维过程都是从理解问题开始，然后经过探索思路，转换问题直到解决问题，进行回顾全过程的思维活动.为了使回想、联想、猜想方向更明确，思路更活泼，进一步提高探索成效，我们必须掌握一些数学解题的方法和策略.一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，就是把面临的数学问题，转化为一道或几道易于解答的新题，通过对新题的考查，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的.通过这样的认识，常用解题策略主要有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等.解决数学问题的过程虽然各有千秋，但都离不开：（1）审题；（2）寻求解题策略；（3）书写解答过程.这三步中寻求“解题策略”是能否解出这道题的关键.

在教学中适当选定一些例题，诱导学生给出多种解法，一题多解，常常能收到拓宽思路，融会贯通的效果.这样既有助于培养学生思维的灵活性和广阔性，又有助于培养学生分析问题及灵活运用各种知识解决问题的能力.教材中一道不等式的典型例题，它可用最基本、最常用的证明不等式的方法——比较法、综合法、分析法来证明，也可用前后所学的知识——向量、三角、柯西不等式来证明，笔者给出六种证明方法，通过一题多解，让学生掌握证明不等式常用的方法，巧用代换，贯穿前后知识，解一题带一片，锻炼学生思维的灵活性和广阔性，也是我们更加明确，精炼的教材蕴藏着无限丰富的数学知识和证明方法，有利于学生去领悟、吸收和探索.因此，挖掘教材，深化例题，发挥它的典型性是教学的关键.我们在解数学题时，习惯将参数方程化为普通方程，而有些题采用逆向转化，即普通方程化为参数方程，将未知的问题化归为已知的或易解的问题，效果更佳；我们用代数法求最值，是常规的解题思路，但有些题，若能充分利用题目中给出的信息，巧妙地构造简单的几何图形，就可使问题直观形象，解法独特；我们在解决数学中的求值问题，往往从正面入手思考，一般常能解决，但有些题感到此法麻烦，此时对所求结果进行分析，不妨将直角坐标系转化为极坐标系，可使问题迎刃而解.在解决数学问题时，要具体问题具体对待，寻求最捷径的解法，特别是逆向思维的转化，可培养学生的灵活性和条理性，更有利于培养学生的发散思维，拓宽学生的知识面，增强学生的综合能力.有些数学习题，所给的并不是函数，如果按常规来做，有一定的难度，而且过程复杂，这时分析所给题的特点，若能换个角度，构造一个函数，可能会起到事半功倍之功效，不仅能使学生感受到数学的美妙以及构造法的神奇，而且更能激發起学生探索的意识和创新欲望，突破思维的常规，使思路更简捷、明快.

在课堂中我们正确处理好讲与练、质与量、易与难、分与总的关系，提高数学运算能力，通过“一题多解，一题多变”，使学生拓宽思路、掌握解题技巧、提高解题能力，把所学知识能够融会贯通.当学生有新想法、新创意时及时进行鼓励，让学生在“练”中获得知识，在“练”中感悟运用解决问题的机能和技巧，在“练”中养成独立思考，主动发现问题，在“练”中培养学生分析问题和解决问题的能力，在“练”中挖掘创新思维能力，达到加强和巩固创新意识的目的.

我们知道一般性总是蕴含于特殊之中，以特殊的情况作为研究的起点，有助于掌握一般情况下的性质和规律，因此，在研究比较复杂的问题时，教师可以引导学生先研究问题的一些特殊情况，再进行联想类比，归纳得出它们的共性，有时还能将平面问题类比升维为空间问题，起到事半功倍之功效.许多数学家、哲学家都讲过类似的话——最简单的才是最深刻，与此有异曲同工之妙.著名数学家华罗庚教授有一名言：“数学是一个原则，无数内容；一个方法，到处有用”对数学的理解才能真正达到本质化.

教师要认真钻研教材，把握教材的思想性和科学性，要通读数学教学大纲，吃透教材，明确让学生了解什么，理解掌握什么，教学思路要清晰，课堂教学才有效率，学生学习才有效果.教师教学的形式和方法要多样化，采用“精讲—精练—引思—答疑—点拨”的教学方式，充分发挥学生学习数学的主观能动性，鼓励学生多思多问多参与，充分体现现代教学论“以学生为主体，以教师为主导，以训练为主线”的教学原则.让学生在知识的掌握中探索、把握规律，启迪学生思维，挖掘学生潜能.要指导学生在观察、分析、对比、联想、判断、归纳、总结、综合运用上下功夫，最终达到思维创新的目的.

通过数形结合法解决空间立体几何中线线所成的角、线面所成的角、面面所成的角的求角度问题，通过例题讲解得出规律：空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算；平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况.向量方法具有很大的优越性，但是它并不是万能的，只有那些适于建立空间直角坐标系的题目才更加适合.有关递推数列的数学问题，从递推数列的解题过程中，充分体现了数学的转化思想.例题的观察法、递推法、构造法、累加法、累乘法、待定系数法、取倒数法、取对数法等都是把复杂问题转化为容易问题，把陌生问题转化为熟悉问题解决，使学生又多了一种解题策略.引导学生活学活用、主动去探索问题，发现问题，思考问题，解决问题，提高解题效率.

我们看出高考试题来源于教材，高于教材，入口浅，寓意深，思维散，思路宽.从2008年高考数学四川卷第16题题目来看，这是一道数列中运用通项公式和求和公式的极其普通的小题，但在解决问题时要运用线性规划的知识或者运用不等式的知识来解决，没有刻意追求新、奇、异，感觉比较熟悉，题目叙述通俗易懂，的确平淡无奇，一道貌似普通的题目，既考查了数列的通项公式和求和公式，又考查了线性规划的知识或不等式的知识，知识点“跨度”不算太小，感觉既在情理之中，又在预料之外，本小题以数列知识为载体，以线性规划的知识为工具，以数形结合的思想为策略，达到解决问题的目的.或者以不等式的知识为工具，以变形转换为手段，达到解决问题的目的.在解题的过程中，完美地体现了数形结合的思想，等价变形和转换思想，让人体会到一道难得的好题总是以平凡形态呈现出来，但却内蕴厚重，纵横联系，从多种角度深思切入解决，应用不同的数学知识，呈现出不同的精彩，给人以美的享受.

总之，巧用恰当的解题的方法是解题的手段，解题的通法是解题的基本功，解题的逆向法是解题的尝试，解题的数形结合法是解题的又一次尝试.数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，“基本练习”是过程，达到掌握并巩固是目的.我们平时的教学面向的是全体学生，平时的教学以问题解决为中心，注重知识的建构过程与方法，重视学生思想与情感的设计理念，积极地探索和实践新课程理念，改革教师的教学模式，改变学生的学习方法，通过这样的探索归纳过程，相信学生能从中有所体会，对后续内容的学习和学生的可持续发展会有一定的帮助.以后留在学生记忆中的不是知识本身，而是方法与思想，是学生学习的习惯和热情，这正是我们教育工作者所追求的结果.