浅谈“问题导学”在数学概念课教学中的案例探究

郑贤才

一、问题呈现，寻途解误

高中数学课程标准中明确指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发生、发展过程和本质.”然而，在数学实践中，由于种种原因，部分教师对概念的形成过程重视程度不够.认为数学概念就是一种规定，只要把数学概念给学生交代清楚，再通过举例辨析，明确概念的外延，就算是对概念认识到位了，学生不能认识到概念的形成过程和本质属性，在应用数学概念时，只能是死记硬背或套用，导致学生数学思维能力和数学思想方法得不到相应的提高.本文旨在通过典型案例，通过“问题导学”的方法揭示数学概念的形成过程，从而让学生认识和领会其中的数学思想方法.

二、“问题导学”，案例实践

（一）形成性概念

形成性概念就是同类事物的共同性、关键属性，可由学生从大量的同类事物的不同例证中发现，从而形成概念.

案例1 三角函数概念

问题1：前面学习了角的概念的推广，推广后的角是如何定义的？它和初中所学的角有哪些不同？

意图：让学生复习推广后的角的概念，即角的顶点放在坐标原点，角的始边与x轴正半轴重合，然后让角的终边绕坐标原点旋转所得到的几何图形.角可分为正角、负角和零角，且终边相同的角可以表示为{β|β=α+k·360°，k∈Z}.

问题2：根据初中所学的锐角三角函数的概念及角的推广，如果将锐角的顶点放在坐标原点，相邻的直角的一边放在x轴的正半轴，那么锐角三角函数中的对边、邻边、斜边分别对应直角坐标系中的哪些量？用坐标系中的量又是怎样定义锐角三角函数的？

意图：将初中所学的锐角三角函数的定义解析化，用坐标系中的坐标表示对应的量，为三角函数的定义推广做铺垫.

问题3：在锐角三角函数的定义中，取终边上任意一点，得到三角函数的值都不变.如果取终边与单位圆的交点坐标（在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以1为半径的圆叫单位圆），又是如何简化三角函数的定义的？

意图：用单位圆定义三角函数，有利于三角函数定义的进一步推广.

（二）归纳性概念

归纳性概念是该概念在学生大脑中已经有了直观的雏形，且只是直观的感知，还没有形成完整的数学概念，需要通过数学语言、符号语言准确地完善数学概念.

案例2 函数的单调性

问题1：初中已经学习过一次函数、反比例函数等.请同学们画出一次函数y=x+1，反比例函数y=1x的图像，观察图像说明图像从左到右是如何变化的？

意图：通过图像，让学生直观认识函数是递增的、递减的图像特征.

追问：由描点法画函数图像的过程可知，由于自变量的变化才引起函数值的变化，函数图像从左到右是上升的或是下降的，反映了函数值随着自变量的变化怎样变化？

意图：通过直观感知函数值随着自变量x的增大而增大（或减小）的过程.

问题2：在x轴上，从左到右自变量在增大，如何用数学符号反映？

意图：自变量x取两个值x1，x2，当x1

问题3：若自变量x在x1，x2处的函数值分别为f（x1）>f（x2），那么自变量在增大，引起函数值在增大（或减小），如何用数学符号表示？

意图：当x1f（x2））.

（三）演变性概念

演变性概念就是从低维到高维，从低级到高级的演变过程，是在事物发展过程中，由于新问题的出现，而在原有知识的基础上无法解决的问题，需要引进新的概念.

案例3 复数的引入

问题1：当初，人们为了数数的需要认识了自然数，但在刻画相反意义或解决诸如3-5这样的计算时，所产生的矛盾是如何解決的？

意图：引进了负数，并增加了新的符号“-”，从而把数扩充到整数集.

问题2：有了整数之后，为了解决2÷3的问题，又该怎么办呢？

意图：引进分数，还要引进一种新的符号——分数线或除号.

问题3：有了分数以后，数集从整数集扩充到了有理数集，但还有问题无法解决，如等腰直角三角形的直角边长为1，其斜边长是多少？又无法解决，怎么办？

意图：必须引进新的符号，于是就出现了根号“ ”，将有理数集扩充到实数集.

追问：有理数的四则运算法在新的数集——实数集中能否实用？

意图：在数集扩充过程中，原来的运算法则仍然适用，为引进新的数集做准备、做铺垫.

问题4：在实数集中，我们还有无法解决的问题，如x2=-1，那又该怎么解决？

意图：让学生自然想到必须引进新的运算、新的符号才能解决这个问题.于是引进新的符号“i”，并规定i2=-1，从而将实数集扩充到复数集.

三、问题导学、总结反思

“问题导学”必须从一些具体的事例、熟悉的知识中探究概念的本质属性和非本质属性，将共同的本质属性归纳、概括出来，形成相应的概念.譬如，三角函数的概念，就是通过初中所学的锐角三角函数的概念，以及学生熟悉的角的概念的推广，将两者中共同的本质属性揭示出来，即锐角的顶点放在坐标原点，始边即直角三角形中锐角的一条边与x轴的正半轴重合，相应的邻边、对边便对应角的终边上一点的横坐标、纵坐标，这样对于锐角三角函数的概念就自然地通过角的终边上一点的坐标这一本质属性来表示，角的终边绕坐标原点旋转时，对边、邻边这些量已经无法体现，由于角的终边上一点的坐标始终存在，为下一步的三角函数概念的推广奠定基础.通过“问题导学”不但让学生认识到知识的发生、发展的过程，而且对知识共同的本质属性也有了更加清楚的认识.