某一类矩阵方程的解及其应用

滕常春

【摘要】本文主要讨论了一类矩阵方程的解及其应用.

【关键词】矩阵方程；特征值；可换矩阵

一、引 言

矩阵方程AX=XB是矩阵论中常见的一个方程，它是否只有零解与A，B的特征值密切相关.本文给出了这类矩阵方程只有零解的一个充要条件，并且利用这个结论解决了几个用其他方法或结论较难处理的例子.

二、主要结果

定理 方阵A，B没有公共的特征值，当且仅当矩阵方程AX=XB只有零解.

证明 （必要性）设矩阵A，B没有公共的特征值，从而它们的特征多项式没有公共根，因而互素，设f（x）为A的特征多项式，则易知f（B）可逆.设X0是矩阵方程AX=XB的解，则易知对任何多项式g（x）都有g（A）X0=X0g（B），特别地，f（A）X0=X0f（B），而f（A）=O，f（B）可逆，因此，X0=O.

【参考文献】

[1]R A Horn，等著.矩阵分析[M].杨奇，譯.北京：机械工业出版社，2005：125-144.

[2]贾利宁，吴伟.非负矩阵最大特征值的新界值[J].数学的实践与认识，2012（16）：221-225.

[3]王其申.关于正矩阵的最大特征值的包含定理及其应用[J].高等学校计算数学学报，2000（2）：10-15.