关于柯西—黎曼方程教学方法的探讨

王文波

本文通过适当的例子说明判断函数解析性的困难，引入柯西—黎曼方程后判断很简单，说明柯西—黎曼方程的适用性。

解析函数是复变函数的主要研究对象，对复变函数解析性的分析和判断就至关重要。柯西—黎曼方程式判断函数解析性的有力工具，使用方便简单。在教学中如何引入柯西—黎曼方程，让学生体会到柯西黎曼方程的妙处就至关重要。处理这部分内容可以采取适当的例子，在判断函数的解析性时用其他方法来求解很困难，但是用柯西—黎曼方程来求解很容易。看下面的例子：

例 判断 的解析性。

分析：在没有讲柯西—黎曼方程前，通常用导数的定义做。 是处处不不可导，也处处不解析。而导数是函数值的增量除以自变量的增量的极限，只要证明极限不存在即可。一元实变函数里证明极限不存在的常用方法是左右极限不相等，此处类似，只要两个方向的极限不相等即可证明。

解： ， ，

当 沿平行于 轴的直线趋近于 ，设 ，则 ， ，

当 沿平行于 轴的直线趋近于 ，设 ，则 ，

，

沿横轴和纵轴方向的极限不相等，则极限不存在， 处处不可导，也处处不解析。

的解析性用导数的定义判断比较麻烦，但是由于这个函数比较简单，判断过程还算是比较顺利的。如果函数复杂点就会复杂多了，比如 ，这个函数也比较简单，只是上题的函数取了下倒数，但是判断起来麻烦多了。过程和上题类似，不过计算的时候还是有点困难的。

用极限的定义判断函数的解析性，使用很不方便，此时可以告诉学生有一种非常简单的判别方法，就是用柯西—黎曼方程来判断。

定理1 设函数 在定义域D内，则 在D內一点 可导的充要条件是： 可微，且在该点处满足方程

（柯西—黎曼方程）

定理2 设函数 在定义域D内，则 在D内一点 解析的充要条件是： 可微（可微在此处可以换为偏导连续），且在该点处满足方程

（柯西—黎曼方程）

用柯西—黎曼方程来判断 的解析性： ，不满足柯西—黎曼方程，故处处不解析，显然，用柯西—黎曼方程来判断解析性简单多了。

基金项目：武汉科技大学研究生教育教学改革研究项目。

（作者单位：武汉科技大学）