教材：人教版初中数学 八年级（上）课题：13.4最短路径问题

唐希

一、教学内容解析

最短路径问题是生活中常见的实际问题，又是初中数学中的一种重要题型。因此，引导学生运用所学知识解决最短路径问题，体现了数学学习与社会生活的密切联系，强调了数学来源于生活，服务于生活的新课程理念。随着新一轮基础教育改革的推进，以数学课题学习为载体进行数学实践活动教学便顺理成章的成为培养学生创新意识和实践能力的重要方式之一。

本课就以课题学习中的“最短路径问题”，引导学生以“两点之间线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，结合法国数学家笛卡尔的名言“一切问题都可以转化为数学问题”，借助轴对称、平移等全等变换方法进行研究，让学生亲历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用，培养学生的转化意识，使学生对数学理解的同时，获得成功的体验和克服困难的经历。

本节课主要内容包括最短路径问题中基本类型的建立，将军饮马问题的转化，最值问题的迁移。

二、教学目标设置

会将实际问题中的地点、河（湖）岸等抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题，体会实际生活和数学之间的密切联系。

体验利用轴对称和平移全等变换的方法来解决最短路径问题，通过观察、操作、归纳等一系列过程，培养学生的实际动手能力，以此激发学生学习数学的兴趣，培养学生探究科学的热情。

理解把求最短路径的实际问题转化成数学中的线段和最小问题，再利用轴对称等线段变换将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题，进而把最短路径的实际问题迁移到数学学习中的求解最值的题型中来。

三、重点与难点

重点：理解轴对称把“将军饮马问题”转化为最短路径中的“基本类型”，实现等线段变换的实质；

难点：把解决最短路径问题的实际迁移到数学中的最值题型中。

四、教学问题诊断分析

从学生学习的情况来看，最短路径问题，学生比较陌生，对题目的理解难度比较大。很多同学能理解找对称点的目的是使“将军饮马问题”转化为“基本类型”，但没有理解找到对称点后，实质上也是把最短路径问题转化为对称点和另一点之间的最短路径问题，导致仍然有同学即使找到对称点，也仍然不能顺利的找到实现最短路径的交点。对于最值问题的迁移，有少量同学仍然不能灵活运用最短路径来解决，这是最短路径问题应用到数学问题中的一个难点，对于初中生来说，理解是需要一些时间的。

五、教学策略分析

第一，创设问题情境，从名人名言出发，结合身边的简单实例，设计旅游景点为背景，把每一种类型的问题都设计在景点中，激发同学们的兴趣；

第二， 学生适度模仿，找相似题型进行类比，自己动手方能熟知最短路径的作图方法；

第三，学生比较两种最短路径问题的区别；引导类比思考，让学生将已学习过的知识与这一新知之间建立联系；

第四，运用轴对称的性质及“两点之间，线段最短”的公理，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的本质转移.

在本节课的教学中，主要以问题引领过程，通过教师引导、学生提问、师生交流、学生合作举例的方式，从总体上认识新知识与原有知识的联系，在过程中感受学习新知识、解决新问题的方法.

六、教学过程

1. 创设情境 引入课题

【引用名人名言】 数学家笛卡尔的名言：“一切问题都可以转化为数学问题”。

设计我校简单的平面地图，如果从教学楼到图书馆，有几条线路可走？最短的线路是哪一条？选择的依据是“两点之间，线段最短”。从而得出我们在解决实际问题时，很自然的运用了笛卡尔的名言启发；由“线段最短”得出这节课的主题——最短路径问题。

2.设计情景 得出基本类型

【情景1】 下图是停车场和售票厅的相对位置，为了在旅游高峰期尽快到达售票厅排队买票，你们会在人行小路的哪个位置横过小路使得所走的路程最短？

[设计意图] 设计旅游景点作为背景，激发同学们兴趣和求知欲，要想快速到达售票厅，则需要将实际问题转化为数学问题. 然后继续追问如何转化，突出轉化过程中正确建立模型的重要性.

3. 设计情景 得出将军饮马问题

【情景2】 如图，鸳鸯湖的河岸1 处的旅游船先前往河岸2 的渡口接游客，然后将游客送往小岛上游览，请问工作人员把渡口设定在河岸2的何处，使得其路径最短，才能达到节约成本的目的。

[设计意图] 把历史上有名的将军饮马问题设计到旅游景点的娱乐项目里，激发同学们的学习兴趣和求知欲。并且点出“这可不像基本类型那么简单了哦！”引导学生把这种类型转化为基本类型的思维方向，突出本节课的重点。

【师生互动】 回顾轴对称的性质，总结全等变换的方法除了轴对称，还有平移和翻折，为后续“造桥选址问题”的解决做铺垫.

【问题】 为什么我们通过这种方法找到的C点就一定是最短的呢？你能以理服人吗？

[设计意图] 引导学生要以理服人，并非凭空想象或机缘巧合得到的。凡事都得有个凭据才能说服他人。

4.设计情景 运用新知

5.知识迁移 最值题型

6.课堂小结 变式提升

七、教学设计说明

本节课是“最短路径问题”的第一课时，除了要介绍本课学习内容、目的和重要性以外，还得为下一节课“造桥选址问题”打基础、埋伏笔. 课程设计要符合学生认知规律。

本堂课从实际问题到数学问题的建模思想，再到“基本类型”的得出，然后到“将军饮马问题”与“基本类型”的类比、转化思想，各个环节都很关键，也很重要。 教师通过设置问题串的形式，激起学生层层递进的求知欲。最终顺理成章的把“最短路径问题”与“最值问题”联系起来，使同学们过渡的自然，掌握的游刃有余。

在课堂教学中，应充分引导学生进行讨论、互相评判、探究等活动，不轻易打断学生的思维和活动，提供学生充分展示思维的机会。