用同阶无穷小判定正项级数的敛散性

陈彦恒 贾松芳

在高等数学课程级数内容的学习过程中，判断正项级数敛散性是学习的主要内容，正项级数的敛散性定理很多，比如，柯西收敛准则、比较审敛法、比较审敛法的极限形式、达朗贝尔判别法等。应用比较审敛法的极限形式时，遇到最大的困难是要找到一个可以与所求级数进行比较的级数。由级数收敛的必要条件我们知道，只要级数的一般项在 时的极限不是0，即一般项不是 的无穷小，级数必发散，因此我们所需处理是级数的一般项是 的无穷小的情形。对于此情形的正项级数，该文利用同阶无穷小给出了一种简单有效的求比较级数的方法，为利用比较审敛法的极限形式判定正项级数的敛散性提供了方便，同时也为快捷的判定一般级数收敛性提供了强有力的支持。该文所使用数学符号与文献保持一致。

下面首先给出利用同阶无穷小判定正项级数的敛散性的定理.

定理 设正项级数 与 。若 是 的同阶无穷小，则 与 具有相同的敛散性。

证明 由题意， ，且可设 ，所以由比较审敛法的极限形式知，正项级数 与 具有相同的斂散性。

注：在文献中定理条件是 是 的等价无穷小，因此本文定理可以看作文献中定理的推广。

从上述定理我们知道，在学习正项级数敛散性的过程中，合理地应用同阶无穷小量，将会为利用比较审敛法的极限形式判定正项级数的敛散性提供了方便.下面我们将通过具体例题来体现这一便利，这些例题都是节选自文献。

例1 判断下列正项级数的敛散性。

（1） ， （2）

解 （1） 令 ， 。 因为 ， 且 ，所以由定理知， 和 具有相同敛散性，因此 收敛。

通过例1中的（1）题可以看出，若一般项是关于 的有理分式函数

则在 时， 是同阶无穷小，从而由p-级数的结论和定理知，当 时， 收敛，当 时， 发散。

（2）令 。当 ， ，

取 ，从而由p-级数和定理知，当 时， 收敛，当 时， 发散。

例2 判断下列正项级数的敛散性。

（1） ， （2）

解 （1） 令 。因当 时， ，所以可取 ，而由等比级数的结论知， 收敛，从而由定理知， 收敛。

（2） 令 ， 。由于 时， ，从而据定理，当 时， 与 具有相同的敛散性，所以 发散。

从例1、例2可以看出，如果正项级数的一般项含有对数函数、三角函数、指数函数在 下的同阶无穷小，利用本文定理很容易就可以找到与原级数相比较的级数，从而判别出原级数的敛散性.若利用一般的思路求解，过程将会非常繁琐。 但有些正项级数的一般项的同价无穷小并不那么清楚明显，需要恒等变形为我们熟知的同阶无穷小，请看下例：

例3 判断正项级数 的敛散性。

解 令 。因当 时， ，而 收敛，从而由定理知， 收敛。

对于一般级数，往往也需要我们将其转化为正项级数，利用正项级数的敛散性判定定理判别其收敛性。因此本文定理对一般级数的收敛性的判定也提供了强有力的支持。

例4 判断级数 的敛散性。

解 由于 与 是在 下的同阶无穷小，但 是收敛的，所以 绝对收敛，从而 收敛。

基金项目：该文由重庆市教委科研资助项目（KJ1710254），重庆三峡学院重点项目（14ZD16），重庆三峡学院数学与统计学院教改项目资助。

（作者单位：重庆三峡学院数学与统计学院）