高中数学中不等式证明的常用方法分析

陈爱丽

不等式是高中数学学习中的重点，同时，也是学生学习的难点，教师开展不等式教学面临着重大的挑战。很多时候，学生无法掌握基本的解题思路，无法下手，导致学生对不等式学习丧失兴趣，甚至对数学这门课程产生恐惧心理。所谓：“授人以鱼不如授人以渔”，教师一定要让学生自己掌握不等式的证明方法，才能达到事半功倍的教学效果。不等式的证明思路非常丰富多样，方法更加灵活多样，学生只有掌握灵活的证明方法，掌握多种不等式证明方法，才能灵活运用，发散思维，提高自己的解题能力，提升自己的答题技巧。所以，教师一定要重视不等式证明方法的教学。

1 比较法证明不等式

比较法主要是通过对比，采用对照组和观察组进行比较，将定量作为对照，对变量进行观察，两边作差，或者作商，判断其大小。将两边相减的结果与“0”作比较，作商时，将其结果与“1”作比较。

例1：求解不等式（X-1）/X≥2的解集。证明方法如下，因为（X-1）/X≥2，当X≥0时，X-1<2X，得-X>-1，进而当X<-1时，无解；当X≤0时，此时X-1=2X，-X=1，X=1，即得到最终证明结果-1

例2：设a>0，b>0，求证b2/a+a2/b≥a+b。求解思路：因为a>0，b>0，表示等式两边均>0，采用两边相减方法，推算情况如下，及a-b≤0，即a≤b；采用两边相除法，a/b≤1，即a≤b（b>0）。通过两边相减得到b2/a+a/b=[（a2+b2）-ab（a+b）]/ab=（a-b）2（a+b）/ab≥0；相除得到（b2/a+a2/b）/（a+b）=（a-ab+b2）/ab≥（2ab-ab）/ab=1。

通过上述两个案例，由案例2得知，对于同一个不等式，在证明时，可以有两种结果，证明在同一类型的题目中，通过对比，能帮助我们更加清晰的学习不等式，并且能真正认识到不等式证明方法的灵活性，努力去学习和掌握不等式证明的方法，并且发现其中的规律和奥妙。在教学中，教师一定要让学生学会举一反三，对于同一类型的题目，换汤不换药，要善于利用证明方法，去解决实际的数学问题，真正达到学以致用的目标，全面提升学生的数学成绩。

2 换元法证明不等式

换元法是在不等式中，定量保持不变，对变量进行替换，让不等式证明更加方便，降低不等式证明的难度。换元法一般常用的有代数换元法和三角换元法。其中三角换元法及时根据三角形的勾股定理，如：sin2θ+cos2θ=1及a=Rsinφ，b=cosφ等。

例1：已知：a2+b2=1，求证：丨a2+2ab+b2丨≤亅2。不等式证明过程如下：首先设定a=cosa，b=sina，得到丨a2+2ab+b2丨=丨cos2a=2sinacosa+sin2a丨=丨sin2a+cos2a丨=亅2丨sin（2a+π/4）丨≤亅2。或者将a2+b2=r2，这个进行替换，可以得到a=rcosa，b=rsina。在这个不等式证明过程中，使用换元法之后，首先整个不等式变得简单，学生在看到不等式之后，证明的目标和思路更加清晰，并且融合了三角形勾股定理方面知识，将数学知识进行融合贯通，真正让学生能掌握不等式证明方法，在遇到较为难以拆分和辨识的不等式时，学生能第一时间正确使用换元法，将复杂的不等式简单化，一眼看清题目，并且通过还原，最终能找到清晰的证明思路。换元法证明不等式具有简单，便于分析等特点和优势，学生掌握了换元法之后，在解决不等式问题上，速率更加精准，思路更加清晰。数学不等式的证明是高考考核的重点内容，除了上述介绍的两种常见的证明方法之外，教师还应该让学生掌握更加丰富的方法，如，均值不等式证明方法、构造函数法等，这些都是不等式解题中常用的方法，每一种的使用，都应该根据具体题目类型，详细判断、正确选择证明方法。

3 结束语

综上，不等式一直是高考考核的一个重要内容和方面，在全国高考总每年都可以见到不等式证明题目。在高中数学学习中，不等式是一个重要的教学内容，是学生必须掌握的一種数学解题技能。教师也应该重视不等式教学，攻克教学中的重点和难点，消除学生心中对不等式的恐惧，让学生能轻松自如的学习不等式。在现代信息技术的辅助和支持下，教师一定要善于利用现代信息化的教学手段，将不同的不等式证明方法，与现代教学手段进行融合，更加直观的展示给学生，降低学生学习的难度，提升学习的积极性，从而达到理想的教学效果。

（作者单位：湖北新产业技师学院）