椭圆与双曲线的一个美妙性质及应用

占峰

性质1 过点 的直线 与曲线 相交于A，B两点，点 ，则

（1）当 时，x轴为 的平分线；

（2）当 ，x轴为 的外角的平分线.

证明：不妨设直线 的斜率存在，其方程为

由 ，消去y 可得

，直线AN，BN关于x轴对称，由此知：

（1）当 时，x轴为 的平分线（如图1）；

（2）当 ，x轴为 的外角的平分线（如图2）.

注：在性质1中，当 时，C表示焦点在x轴上的椭圆；当 时，表示焦点在y轴上的椭圆；当 时，表示一个圆.由此便知有如下的性质2.

性质2 过点 的直线 与曲线 相交于A，B两点，点 ，则

（1）当 时，y轴为 的平分线；

（2）当 ，y轴为 的外角的平分线.

性质3过点 的直线 与双曲线 相交于同一支上的A，B两点，点 ，则

（1）当 时，x轴为 的平分线；

（2）当 時， x轴为 的外角的平分线.

证明：不妨设直线 的斜率存在，其方程为

由 ，消去y 可得

，直线AN，BN关于x轴对称，由此知：

（1）当 时，x轴为 的平分线（如图3）；

（2）当 时， x轴为 的外角的平分线（如图4）.

注：当B，A分别位于双曲线的左，右支时，则与性质3中的结论相反：

（1）当 时，x轴为 的平分线；

（2）当 时， x轴为 的外角的平分线.

应用

例1 （2015年高考四川理科数学第20题）如图，椭圆E： 的离心率是 ，过点P（0，1）的动直线 与椭圆相交于A，B两点，当直线 平行与 轴时，直线 被椭圆E截得的线段长为 .

（1）求椭圆E的方程；

（2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点P不同的定点Q，

使得 恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

解析（1） ；

（2）因为 ，所以当点Q的坐标为 ，由性质2知，y轴为 的平分线，所以 恒成立.

例2 过点 的直线与双曲线E： 相交于同一支上的A，B两点，点 .若 干，则直线 的斜率为 .

解 由性质3知，x轴为 的外角的平分线，，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，则 ∽ ，故 （如图5）

联立（1），（5）解得 ，代入（3）解得 ，故直线 的斜率

.