‘庄子切棒悖论’、‘调和级数悖论’等的浅简彻底解决

摘 要：本文依据《对数学基础0和1的新认识》的‘均分形式法浅简而彻底的解决了‘庄子切棒悖论、‘调和级数悖论等著名重大悖论。

关键词：‘悖论；‘假悖论；‘均分形式；‘分数形式等

首先，‘庄子切棒悖论是公认未解决的最著名悖论。这悖论与现行教科书因没有○n 与n之分等而把公共编号○n-○∞错成n→○∞，进而错写成n …有关（n和○n 的不同与○∞和∞的不同直接有关，其原始原理请参看[3]）。

但近年来，由中科院士张景中主编的第二版《数学聊斋》[1]对‘悖论的概念作出荒谬无理的解释，竟在其375页说【悖论不是坏东西……悖论不但有趣，而且有用】，并在他作序的《话说极限》[2]的第3页说出低劣错误的【无限段路程之和可以是有限量】（应该‘有限段路程之和是有限量才正确——请看下面证实。）是在掩盖‘悖论。理学界掩盖‘悖论的概念，使之变成谁也搞不懂的‘疑难的实例很多；但像张景中教授们这种低劣错误却是绝无仅有的。展示在下面的[1]，是[2]中‘庄子切棒悖论产生的错误的级数式子。[3]之实例6对这个悖论虽已作出逻辑上的否定，但还没有给出新式子来取代解决，所以本文下面用运算推导出正确的新式子如下：

‘庄子切棒悖论的表述实质意为‘任一条线段，每次切取其半，可无限次的切取。

要解决‘庄子切棒悖论及其级数式子的错误，首先须知，‘无限多的数学记号是○∞，而○n 表示‘有限多，但現行教科书因没有○n 与n之分，从而把错误的写成n …，当成无限了，这是一错；第二个错是其没有把未切取的部分算进去。

所以，‘庄子切棒悖论的真正解决的具体运算推导步骤须为

设○n ′为切的次数，则有1/②○n ′=1/○n ≡1，此式可称为‘庄子切棒公式（注意，依据[3]，‘总段1不是数，表示一物质线段，所以‘庄子切棒公式不是分数形式，即其分数线/等于除号，表示确定的线段1被○n均分，是均分形式）；○n为已切取的‘积段n的编号；还有恒未切取的‘分段1；由于○n>○n '，所以○n '必有限。

庄子作为哲学家，提出了‘庄子切棒悖论问题让人们去解决，解决了就是知识，解决不了就成了悖论；而悖论必须要解决〔‘一个命题的自我否定，即既表述为A又表述为非A简称为‘悖论。请特别注意，形式逻辑学的‘矛盾律表述为‘两个互相矛盾或者互相反对的命题，不可能同时真，必有一假。；‘悖论与‘矛盾律的区别的关键在‘一个命题和‘两个命题。也就是说‘形式逻辑学的‘同一律、‘矛盾律、‘排中律三大律合起来的总旨就是防止产生‘悖论。

‘哲学只是‘聪明的观点而已，事实是，从古至今哲学流派众多，表明‘聪明的观点众多，而‘辩证逻辑仅是高级的‘哲学；所以，人们把没有推理规则的‘辩证逻辑当作高级的‘形式逻辑学是错误的，会把‘非逻辑（即悖论）诡辩为‘辩证逻辑（‘辩证意即‘既对立又统一），这就使‘逻辑学与‘哲学混同了；事实是，‘逻辑学是‘形式逻辑学的简称，起始于亚里士多德，具有严格的推理规则，是理学研究的唯一推理工具。〕

‘庄子切棒悖论被‘庄子切棒公式彻底解决的道理在物理事实方面：因未切取的‘分段恒为1，是有长度单位的，当1的长度小于刀锋的厚度就不能切了；即使假想刀锋的厚度可任意微细，但已切取的‘分段也恒为1，也表明必○n是‘有限多，即○n≠○∞。

所以由‘庄子切棒公式产生的数列和级数才正确，这就解决了‘庄子切棒悖论。

第二，千百年来百思不得其解的‘调和级数发散而其数列却收敛（其错误式子的具体展示请看[2]之第6页）的毛病在哪？此毛病实即‘悖论，也是现行教科书把n→∞的n当成无限，即调和级数数列的1/n不是最末项，在其后还有表示无限项的‘…造成（注意，‘…可用在n或n项之前表示有限的省略，如用在n或n项之后，就会表示无限而产生悖论即错误。）！

本文解决：已证实○n是不定的‘有限多，n表示不定的‘有限大，○∞表示‘无限多，∞表示‘无限大（n和○n的不同与○∞和∞的不同直接有关，其原始原理请参看[3]），所以调和级数应改正为s○n=1 +1/②+1/③+…+1/○n。上面已交代过，这1/○n是均分形式（用直尺、圆规均分），还不是分数形式，因为直接用分数形式或化成小数形式，有限性的○n就彻底混淆成了无限性的n …了；而用均分形式就可看出其长度（或称距离），不用并项也可直观看出恒有s○n>○n （1/○n ），因为可直观看出1/○n是有限个点的第○n点到○0点的长度，于是每条长度是确定的且条数是有限的，从而总和长度s○n也随之趋微地增大而等于确定长度——即有限量；如果把○n不尽的取，可直观看出右○n （1/○n ）恒不变，而左s○n→∞，但○n ≠○∞，故s○n≠∞〔现行教科书就是把○n→○∞错误的当成n …后，○n就混淆成n ，从而1/○n也就混淆成1/n 随之以无限小的小数形式以0为极限收敛， 而s就混淆成s○n会随之无限趋微地增大而向∞发散，从而产生令人困惑的悖论。〕

既已证实点为‘有限多，所以虽可任意选取，但不尽的选取是没意义的。有限选取后，才再考虑还须完全用数计算表出，这才用到分数形式的1/〔注意，另一分数形式1/n，是‘分段1与‘积段n之比的结果写法，即1/的1就是1/n的‘积段n ，这也证实现行教科书把混淆成n的错误；而由本文，须写成‘分段为1/，与‘积段为1之比的比值是（1/）：1=①/才对。〕，从而才出现了无限小数的近似〔如选取=（11）则s≈3，如选取=（200）则s≈5.8，如选取=（227）则s≈6，如选取=（1835421）则s≈15等等。还须注意，1还是‘量数（请看[3]），带上量纲单位就成为具体的‘数量了，就更具有限性；从而1/、s都是‘数量。〕，于是此悖论也解决了（注意，‘总段1必须要有长度量纲，才被彻底确定，否则‘总段1还是无限的！）。

为了让人看得更清晰、踏实，用实例试把上面=（1835421）的数据应用起来，就知上述不谬：如设‘总段1为1纳米长=10^9米（注意，10^9本应写为10^⑨，为简，不强改；下同。），如这1纳米长分别被①、②、…至最后=（1835421）个分点均分，这分点虽趋多但必有限即必≠，则与各均分形式的1/相应的各分数形式分别为1/①、1/②、…、至最后的1/=1/（1835421）≈5.4×10^16米，这与质子半径8×10^16米相当，这虽很小但必≠0，于是其s≈1.5×10^8米，必是有限大即必≠∞。总之必是有限多，从而1/必不收敛于0而s必不会发散趋向∞形成悖论。

至于‘芝诺悖论，对照‘庄子切棒悖论、‘调和级数悖论的真正解决，就可知其是芝诺冒充搞成的假悖论。

‘庄子切棒悖论、‘调和级数悖论是有产生数列的通项式的，而‘芝诺悖论没有其通项式，因而本没有其数列，其所谓的“数列”是假的，是用特意选取的两个整数相除即100/9得到的无限循环小数11.111…，再拆成无限的数列样子，搞成了所谓“无限收敛数列”；这样一来，就产生了‘快速的阿基里斯永远追不上乌龟的假象。连动物都知道快速的必会追上慢速的，事实是，‘芝诺悖论的编造，其选取100/9的方程就是按‘阿基里斯追上乌龟这条件才建立的（请看[2]的第3页），怎又会追不上；把100/9写成11.111…，就是为编造“无限收敛数列”，搞假悖论。显然，如果不把100/9写成11.111…，此题就会还原成一般正常的数学题，就可求得阿基里斯追上乌龟的确定时间和确定距离，何来“悖论”。

这就证实了‘芝诺悖论是假悖论并得到真正的解决。

[2]的主题原是讲述数列和极限的，而‘芝诺悖论和‘庄子切棒悖论各有一串数列，所以编著者一开始就为引入这两个悖论的数列，对这两个悖论予以既虚否定又实赞美，说出了很多颠三倒四而又圆

滑的废话，对读者的逻辑思维都会有极为严重的毒害作用。

所以，1/n是其最末项，不可在其后还有表示无限项的‘…。

有了‘总段1，则‘罗素悖论也即解决，因为‘总段1不是数，而是数的集合，其元素即为自然数1、2、…、n；从而第三次数学危机才真正解决。

下面展示[2]的‘庄子切棒悖论所产生错误的通项式1/2n和其错误的数列、错误的两种级数式子：

‘庄子切棒悖论数列为1/2 ，1/4 ， …，1/2n ，…错误在n项之后还有… ；

【1】、sn=1/2 +1/4 + …+1/2n+…=1；

【2】、sn=（1/2）-（1/2）n+1/〔1-（1/2）〕

此两种式子错误就在没把未切的剩余部分1/2n 加进去。

这【1】没把未切的剩余部分加进去，右边怎会=1？

再来验算【2】，试把n=3代入，也缺剩余部分1/2n =1/8 ；补进1/8 ，才=1 ！

而本文‘庄子切棒公式产生的正确的‘庄子切棒通项式1/2 ^和其数列、级数，分别为（注意，因‘庄子切棒公式中先用数字表示了，于是'就成了后）：

‘庄子切棒数列1/② ， 1/④， …，1/②^，还有未切的剩余的一段即一项1/②^；

‘庄子切棒级数s=1/②+1/④ +…+2/②^=1；

‘庄子切棒等比级数s=〔（1/②）-（1/②）^+①〕/〔1-（1/②）〕+（1/②）^。

请大家对照。

[2]共有四章，其错误都集中在第一、第二和第四共三章中，原因是这三章都涉及‘庄子切棒悖论、‘调和级数悖论、和‘芝诺悖论。在第四章中关于‘芝诺悖论的人云亦云错误言论，更无知而怪诞的说【十分有意思，如果初值超越极限，它还是“退回来”从反方向逼近100/9】（摘自[2]之111页），竟不知此句正是表达不可把100/9写成11.111…！

[2]最后才哀叹【其实，计算机的出现始终伴随着一个很难解决的悖论】（摘自[2]之117页）；但这样一来，其前面对悖论的赞美和错误式子严重毒害了读者的逻辑思维，怎办？！张景中院士怎会不知‘悖论是何概念，竟说出【悖论不是坏东西……悖论不但有趣，而且有用】小孩般的话？！

原来，说起‘悖论，就不得不面对现在依然名声震天的都与‘悖论紧密相关三巨头理论：康托尔的‘无穷集合论、爱因斯坦的‘相对论、哥德尔的‘不完备性定理。

（1）先说康托尔的‘无穷集合论：其实，‘无穷集合论由‘无穷和‘集合组合而成；‘集合本身是无悖的；而‘无穷是有悖的，因为康托尔把‘…当作‘无穷来代替，再用‘一一对应的方法，并交替辗转使用‘…代替，主观的用‘无穷的自然数集不断构造出客观并不存在的‘超穷数集，荒谬之至；事实是，一切小数无论是‘有理的，无理的，或超越的，实质上都是物理元素间或几何元素间的关系性的数，放在表达存在性的‘自然数n的数轴上就已是错误。康托尔由于不会区别 n和，产生‘悖论也不知道，例如他面对“整体等于其部分”还嘴硬说这正是‘无穷的特性。事实是，康托尔的‘无穷集合论就已产生了很多‘悖论，也遭到很多大数学家激烈反对；但是反对代替不了否定，反对者们也都因不会区别n和而不能解决康托尔的‘无穷集合论；另一方面，‘集合本身是无悖的，在数学中又很有用；于是接受了‘集合也无意中接受了‘无穷集合论的‘悖论。

（2） 再说爱因斯坦的‘相对论：爱氏的‘光电效应理论是世所公认的真理，但铁证证实，其“相对论”却是彻底的伪论，其中全是假式子、假运算；具体请看[4]。

（3）最后说哥德尔的‘不完备性定理：自康托尔的‘无穷集合论‘悖论频出泛澜后，许多数学家想尽各种方法以图消除‘悖论，形成学派之争，以罗素、弗雷格为代表的逻辑派，以布劳威为代表的直觉派，以希尔伯特为代表的形式公理派。三大流派虽然名称不同，但实质都以逻辑为标准，但终因不会区别 n与（n）而无法找到数学产生‘悖论的根源。最后在1930年哥德尔发表了撼世的‘不完备性定理，不了了之的结束了这场为消除‘悖论历经半个世纪的争论。那么哥德尔的‘不完备性定理究竟说了什么？

非常有趣，哥德尔忽视了人脑与电脑的根本差别；人脑具有主动性，会主动寻悖，而电脑是按人输进的逻辑符号、程序进行处理，不会区分悖论的真假。要深刻理解哥德尔的‘不完备性定理，最好看‘说谎者悖论（哥德尔本人承认受‘说谎者悖论的启发）；‘说谎者悖论表述为‘我正在说的这句话是谎话，须知这种表述是假悖论，是玩句子残缺的文字游戏（如表述为‘我正在说的这句话是谎话也是真话才是真悖论），只能蒙混电脑；不管真悖论、假悖论都最终逃避不了人腦的鉴别和解决。

张景中院士以为，既然世界级的巨头们都无奈悖何，所以就可肆无忌惮说出【悖论不是坏东西……悖论不但有趣，而且有用】。

参考文献：

[1]张景中主编，王树禾编著.《数学聊斋》， 第二版书号ISBN7030139585.科学出版社出版.

[2]梁昌洪编著，张景中作序.《话说极限》，书号ISBN 978030237880.科学出版社出版.

[3]陆道渊.《对数学基础的0和1的新认识》2016年刊于《中国科技纵横》，网搜即可参阅或下载.

[4]陆道渊著.《铁证证实"相对论" 是爱氏埋灭、篡改洛仑兹五条原真式子后编成的伪论》2016年刊于《中国科技纵横》.

作者简介：陆道渊 ，温州东方船艇公司退休。