基于稳定补偿状态观测器的旋转导向钻井轨迹跟踪控制

高俊山 张弛 程宁波 邹伟

摘要关键词：旋转导向钻井系统；状态反馈；积分滑模控制；稳定补偿状态观测器；遗传算法

DOI：10.15938/j.emc.2018.02.000

中图分类号文献标志码：A文章编号：1007-449X（2018）02-0000-00

收稿日期基金项目作者简介：

通信作者：程宁波Trajectory tracking control of rotary steerable systems based

on stability compensation observer

GAO Junshan1，ZHANG Chi1，2，CHENG Ningbo2，ZOU Wei2

（1.School of Automation， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080，China；

2.Institute of Automation，Chinese Academy of Sciences， Beijing100190，China）

Abstract：Rotary steerable system （RSS） is a new type of directional drilling that has been applied in drilling operations in recent years. RSS has a number of advantages including low cost， high rate of penetration， smooth borehole trajectory，horizontal well extension and so on. Considering theproblem of borehole trajectory tracking of RSS， this paperanalyses the asymptotic stability of thesystem model， and realizes a 2dimension borehole tracking controller based on state feedback. In order to solve the problem of the observer stability caused by lagging property， a state observer designmethod based on stability compensation is proposed.Overall thought of the control system design is to utilize integral sliding mode variable structure control based on exponential reaching lawto determine the stability compensation control input，which ensures asymptotic stability of the state observer. Furthermore， genetic algorithm is used to optimize the parameters of controller to improve the overall system performance. Simulation results on different predefined drilling trajectories are given to show the effectiveness of the proposed control system.

Keywords：rotary steerable system；state feedback； integral sliding mode control；stability compensation state observer； genetic algorithm

0引言

旋轉导向钻井系统（rotary steerable system，RSS）是20世纪80年代后期开始发展起来的一项自动化钻探新技术[1]，该技术以旋转导向为导向手段，可以有效引导钻井轨迹准确达到或穿越油气储集层。RSS由钻杆、底部钻具组合（bottom hole assembly，BHA）和地面监控中心（ground monitoring center，GMC）组成，BHA主要包括PDC钻头、井下导向装置、随钻测量（measurement with drilling，MWD）或随钻测井（logging with drilling，LWD）设备、井下稳定平台等。其中井下导向装置和随钻测量设备是实现井眼轨迹控制的井下关键部分，在钻井过程中起到井下地球物理参数测量、通信数据双向传输、预设井眼轨迹跟踪、防止井筒抖振以及保持钻井过程稳定等作用。在实际的导向钻井作业中影响钻井轨迹的因素很多，如地层岩性、钻头类型、电机转速、钻压以及井眼曲率等，同时由于井下工作环境中包含强烈的时变性、非线性以及其它未知扰动因素，想要精确获得井下导向钻具的数学模型并预测其状态非常困难，因此在实际计算中通常需要将一些对导向钻进过程影响较小的条件使用线性化等方法进行处理，在建模符合井下实际状况的同时尽量简化计算以便于控制算法的设计和实现[2]。

为了确保RSS在钻探过程中的井下稳定性和轨迹精确度，研究人员进行了数学建模分析和机械平台搭建，针对模型特点提出了多种控制算法。Duan等[3]提出了一种关于MRST旋转导向钻井系统的模糊自适应PI和可变阻尼控制方法，实现了对于系统非线性和时变性良好的自适应性；Huo等[4]提出了一种关于井下稳定平台非线性摩擦力矩的积分滑模控制器和克服平台盘阀不确定性干扰的自适应估计器；Zhang等[5]提出了一种关于井下稳定平台上边界非线性和不确定性的自适应滑模变结构控制方法，改善了系统的控制性能和鲁棒性；Abdulgalil[6]为提高非线性RSS的鲁棒稳定性，减弱BHA的井下振荡问题，提出了一种基于输入状态线性化和滑模控制策略的PID控制器；以上文献的研究对象是BHA模型中稳定平台的姿态控制，不能从整体上体现井下旋转导向控制的实现机理。Kremers[7]和Van der Wouw[8]根据Perneder[9]提出的一种导向钻井系统三维轨迹模型，设计了一种基于鲁棒跟踪问题的输出反馈控制方法。Sun[10]根据Downton[11]提出的一种简化为Explicit Force， Finitely Sharp， Zero Mass（EFFSZM）且带有中立滞后线性不确定性的导向钻井系统模型，设计了一种基于快速估计的L1自适应控制器，使实际模型能有效跟踪系统参考输出，减小跟踪误差。但是使用的系统模型只考虑了带有一个稳定器的BHA，没有考虑后续钻杆对BHA的影响，以及钻杆相对于钻头的滞后对系统稳定性的影响，因此不能完全反映BHA在井下的实际钻进情况。此外，在RSS相对应的数学模型方面，有相当数量的控制算法设计和理论分析为实现RSS井下轨迹的平稳准确跟踪控制提供了理论基础[12-18]。

考虑到上述文献在系统模型和控制方法上存在的问题，本文基于Perneder[19]提出的一种推靠式RSS系统轨迹模型的二维简化形式，针对观测器误差模型中的滞后项所导致的观测器稳定问题，提出了一种基于积分滑模变结构的稳定补偿控制方法，据此实现了用于对二维钻井轨迹进行稳定控制的状态反馈控制器。本文首先构造推靠式RSS的动力学模型并分析系统稳定性，而后分别设计系统的反馈控制器和稳定补偿状态观测器，并对控制系统参数使用NSGAII进行优化。仿真结果表明，本文设计的控制方法在跟踪预设轨迹精确度和井眼振荡抑制等方面具有良好的控制效果。

1旋转导向钻井系统动力学模型

1.1几何特性描述

RSS系统底部钻具组合的简化模型如图1所示定義λi（i=2，3，…）为第i-1个稳定器到第i个稳定器之间的钻杆长度。λ1为钻头到第1个稳定器之间的距离，从钻头到偏置机构的长度为Λλ1，其中Λ∈（0，1）。给定系统的基坐标系为[e→x，e→y，e→z]T，其中e→z与重力方向相同，e→x与e→z垂直，e→y与e→x，e→z分别正交。考虑[e→x，e→z]T所在的竖直平面内的导向作用，在此导向作用下的钻井轨迹为二维井眼轨迹。

钻头侧向切削力的存在导致井眼轨迹（B）与BHA井下钻杆轨迹（D）之间存在一个小的偏差。二维井眼轨迹方向由井斜角Θ（S）表示，该角度定义为轨迹切线与e→z之间的夹角，其中S∈[0，L]是井眼轨迹的曲线坐标，L是井眼轨迹的长度（S=0为地面钻机位置）。BHA本身的倾斜角定义为θ（L，s），其中s∈[0，LBHA]是钻头钻进时钻杆的曲线坐标，LBHA是BHA和钻杆的总长度（s=0是钻头位置）。为简化计算，引入一个与井底钻进动力学无关的无量纲钻进长度ξ=L/λ1作为系统的参考变量，井斜角和BHA的倾斜角均依赖于此变量。

1.2系统动力学模型

1.2.1模型构成

旋转导向钻井系统模型主要包括3部分：BHA数学模型、钻头运动学模型以及钻头和岩石之间的接触作用模型，3者之间的相互关系如图2所示。其中：BHA模型用于描述简化为EulerBernoulli梁模型的钻头和钻杆与井壁之间的关系[20]；钻头与岩石接触面之间的相互作用关系用于描述在钻井过程中钻头和岩石接触面的破岩以及其它损耗过程[21]；钻头运动学模型用于描述钻头轴向运动与侧向运动的关系。这3个模型的构建过程和相互关系参见文献[9，19]。

1.2.2井眼轨迹演化方程

使用尺度化的特征力F*（定义F*=3EI/λ21，EI表示钻杆的抗弯刚度）对导向力、钻压和BHA重量进行尺度变换，综合上述的模型关系与边界条件，可得出系统的井眼轨迹演化方程，其推导过程参见文献[9]。在[9]所给方程中包含两项与BHA重量有关的非线性项，在钻进过程中重力项对系统的稳定性几乎没有影响，可以忽略不计。因此可将井眼轨迹演化方程转化为具有多定常滞后项的线性滞后微分方程，即

χΠΘ′=-Mb[Θ-〈Θ〉1]+χηFb[Θ-Θ1]+

∑n-1i=1[FbMi-FiMb-MiηΠηΠ]（〈Θ〉i-〈Θ〉i+1）-

χη∑n-1i=1FiΘi-1-Θiκi-Θi-Θi+1κi+1+

FbMr-FrMb-MrηΠηΠΓ-χηFrΓ′。（1）

式（1）中第i个稳定器的空间滞后倾斜角表示为Θi=Θ（ξi），其中ξi=ξ-∑ij=1κj；κj是第i个稳定器的无量纲长度，即κj=λj/λ1；Γ，Π分别为尺度变换后的钻井系统导向力和钻压；Fb，Mb表示钻头倾斜产生的力和力矩，Fr，Mr表示导向力和力矩，Fi，Mi表示稳定器约束条件，这些参数只与BHA的结构有关；η和χ分别表示侧向转向阻力和角转向阻力。第i个BHA段的平均倾斜角〈Θ〉i可表示为

〈Θ〉i=1κi∫ξiξi-1Θ（σ）dσ。（2）

1.2.3状态空间方程

定义状态变量x=[Θ，〈Θ〉1，〈Θ〉2，…，〈Θ〉n]T，则线性多滞后微分方程（1）可以转换成一阶状态空间表达式形式

x′（ξ）=A0x（ξ）+∑ni=1Aix（ξi）+B0Γ+B1Γ′。（3）

考虑一个带有2个稳定器的BHA，状态空间表达式可以写成如下形式

x′（ξ）=A0x（ξ）+A1x（ξ1）+A2x（ξ2）+

B0Γ+B1Γ′。（4）

式中系统状态转移矩阵A0，A1，A2和输入矩阵B0，B1的表达形式可参见文献[7]。

在BHA导向装置处以及第1个到第2个稳定器之间的位置通常安装有两个井斜角测量传感器，据此定义可测输出变量为y=θ=[θ0（ξ），θ2（ξ）]T。与井壁的倾斜角类似，带两个稳定器的BHA输出倾斜角同样与Γ，Π，〈Θ1〉，〈Θ2〉等参数有关，由此可得系统的输出方程

θ=1ηΠ-Fb（ηΠΘ-Fb〈Θ〉1+FrΓ+

F1（〈Θ〉1-〈Θ〉2））。（5）

即

y=Cx+DΓ。（6）

式（4）和式（6）组成BHA的状态空间方程。

2系统稳定性分析

在忽略了系统中重力项的影响之后，导向钻井系统模型可看作带有两个滞后因子的线性滞后系统，可以应用基于线性矩阵不等式（linear matrix inequality，LMI）的滞后系统稳定性分析方法对导向系统的渐近稳定性进行分析。

考虑一个由式（4）构成且输入为零的自治系统，定义该系统的LyapunovKrasovskii泛函为

V2（x）=xT（ξ）Px（ξ）+∫ξξ-τ1xT（s）Q1x（s）ds+

∫ξξ-τ2xT（s）Q2x（s）ds+

∫0-τ1∫ξξ+θx·T（s）W1x·（s）dsdθ+

∫0-τ2∫ξξ+θx·T（s）W2x·（s）dsdθ+

∫-τ1-τ2∫ξξ+θx·T（s）W3x·（s）dsdθ。（7）

其中τ1和τ2分别表示κ1和κ1+κ2，对于该式的稳定性有如下定理：如果存在矩阵P=PT>0，Qi=QTi>0（i=1，2），Wi=WTi≥0（i=1，2，3），并且存在任意的适当维数的矩阵Ni，Si，Mi （i=1，2，3），Xij，Yij，Zij（i=1，2，3；i≤j≤3）使得如下的LMI成立

Φ=Φ11Φ12Φ13

ΦT12Φ22Φ23

ΦT13ΦT23Φ33<0，（8）

Ψ1=X11X12X13N1

XT12X22X23N2

XT13XT23X33N3

NT1NT2NT3W1≥0，（9）

Ψ2=Y11Y12Y13S1

YT12Y22Y23S2

YT13YT23Y33S3

ST1ST2ST3W2≥0，（10）

Ψ3=Z11Z12Z13-M1

ZT12Z22Z23-M2

ZT13ZT23Z33-M3

-MT1-MT2-MT3W3≥0。（11）

则此线性滞后系统渐近稳定[22]。式（8）～式（11）中的各项参数表达式以及稳定性定理证明见文献[23]。

系统所涉及的BHA参数如表1所示。其中Ir和Or分别表示BHA的内径和外径；其他BHA机械参数中，选取杨氏模量E=2e11N/m2，钻杆平均密度ρ=7 800 Kg/m3。将几何参数和运动学对应关系分别代入式（4）求得系统矩阵和输入矩阵。表1BHA的几何参数[9]

Table 1Geometry Parameters of BHA

几何参数数值几何参数数值λ13.66[m]Ir0.053[m]λ26.10[m]Or0.086[m]κ11[-]η30[-]κ22/1.2[-]Π30[-]Λ1/6[-]χ0.1[-]

使用Matlab的LMI 工具箱求解线性矩阵不等式（8）～式（11），根据程序计算结果可知所构造的式（7）中的矩阵P，Q1，Q2，W1，W2，W3存在相应的正定或半正定可行解使式（7）的导数为负定，即式（4）构成的自治系统渐近稳定，因此可以通过设计控制器调节系统的动态过程和稳态过程使系统趋于渐近稳定。

3控制器设计与优化

3.1控制器总体结构

RSS控制器的总体结构如图3所示。其中，系统反馈控制器基于参考轨迹与观测器反馈状态进行设计，其目的是使井眼轨迹与参考轨迹之间的误差按照指数形式趋近于零。具有稳定补偿功能的状态观测器由系统状态观测器本身和积分滑模补偿控制器两部分组成。前者采用Luenberger状态观测器，后者利用积分滑模变结构控制为观测器提供稳定补偿式控制输入，以解决观测器误差模型中的滞后项所导致的观测器稳定性问题，同时改善了控制系统的动态过程。控制系统中的状态反馈增益、观测器增益和滑模变结构参数使用遗传算法NSGAII进行优化。

在RSS控制系统中，控制输入u是推动钻头转向的导向力，输出是井眼在钻头附近位置的角度，为了便于直观地确定钻进轨迹，定义输入u对应的输入矩阵为B3×1，令Bu=B0Γ+B1Γ′，式中B0=[b000]T，B1=[b100]T，解得导向力对应的角度输入为[8]

Γ′=-b0b1Γ+1b1u。（12）

3.2系统状态反馈控制器设计

为提高系统的动态响应速度，加快系统趋于稳定，基于系统参考输入设计系统状态反馈控制器。定义系统误差为

e（ξ）=xr（ξ）-x（ξ）。（13）

式中xr（ξ）为系统参考输入，系统误差e对ξ求导得：

e·（ξ）=x·r（ξ）-x·（ξ）。（14）

基于狀态反馈设计系统控制律为

u（ξ）=B+[x·r（ξ）-A0x（ξ）-A1x（ξ-τ1）-

A2x（ξ-τ2）+Kve（ξ）]。（15）

式中：Kv=diag[Kv1，Kv2，Kv3]，B+为系统输入矩阵对应的1×3矩阵，综合式（4）、式（14）和式（15）可得

e·（ξ）=x·r（ξ）-A0x（ξ）-A1x（ξ1）-

A2x（ξ2）-Bu（ξ）=-Kve（ξ）。（16）

考虑到导向控制作用的输入是在钻头附近的导向装置处施加，由于导向装置和钻头之间的距离非常接近，可看作导向力直接施加在钻头上，钻头到第1个稳定器以及第1个到第2个稳定器之间的平均倾斜角不直接受到控制输入作用的影响，因此可令式（15）中B+=[1，0，0]，状态反馈增益中的参数约束条件为Kv1>0，Kv2，Kv3=0。

结合状态反馈参数约束条件由式（16）可以看出，随着钻井长度ξ的增加，误差e（ξ）以指数形式收敛于0。

3.3稳定补偿式状态观测器

3.3.1观测器设计

根据系统模型设计状态观测器，首先应判断系统是否具有可观性，根据上一节中的几何参数确定的BHA模型系统矩阵和输出矩阵，使用PBH秩判据方法得出在不带滞后环节的情况下系统是完全可观的。同时由于在钻进过程中钻杆部分的轨迹相对于钻头轨迹具有可延续性，且钻头转角近似为零，因此可以认为系统模型中的滞后环节不影响系统的可观性。

根据线性控制理论，设计系统的Luenberger状态观测器为：

x^·（ξ）=A0x^（ξ）+A1x^（ξ-τ1）+A2x^（ξ-τ2）+

Bu（ξ）+HC（x（ξ）-x^（ξ）），

y^（ξ）=Cx^（ξ）+DΓ（ξ）。（17）

式中：x^，y^分别为观测器的状态变量和输出变量，H∈R3×2为观测器的增益矩阵。

定义系统观测器误差为

δ（ξ）=x（ξ）-x^（ξ）。（18）

得到观测器误差模型为

δ·（ξ）=x·（ξ）-x^·（ξ）=

（A0-HC）δ（ξ）+A1δ（ξ-τ1）+

A2δ（ξ-τ2）。（19）

由式（19）可以看出，由于在误差模型中存在滞后项δ（ξ-τ1）和δ（ξ-τ2），单纯通过极点配置方法选择增益矩阵H通常难以保证观测器的稳定性，进而导致δ（ξ）不能趋近于零，观测值难以实时反应实际状态值。为此，以上述观测器设计为基础，在输入u（ξ）的基础上附加稳定补偿控制项r（ξ），进而实现一种基于稳定补偿的状态观测器。此时，观测器模型为：

x^·（ξ）=A0x^（ξ）+A1x^（ξ-τ1）+A2x^（ξ-τ2）+

B（u（ξ）+r（ξ））+HCδ（ξ），

y^（ξ）=Cx^（ξ）+DΓ（ξ）。（20）

观测器误差模型为

δ·（ξ）=x·（ξ）-x^·（ξ）=

（A0-HC）δ（ξ）+A1δ（ξ-τ1）+

A2δ（ξ-τ2）-Br（ξ）。（21）

3.3.2观测器稳定补偿控制

式（20）中的稳定补偿项r（ξ）采用基于积分滑模变结构的思想进行设计和实现。对于滑模变结构控制而言，其滑动模态与系统的外部扰动和参数摄动完全无关，可以通过设计滑模面使控制系统获得较好的鲁棒性[24-26]。

根据观测器误差定义控制器的积分滑模面为

s（ξ）=c1δ（ξ）+c2∫ξ0δ（τ）dτ。（22）

式中：s（ξ）=[s1（ξ），s2（ξ），s3（ξ）]T，滑模参数c1=diag[c11，c12，c13]，c2=diag[c21，c22，c23]；s（ξ）对ξ求导并结合公式（21）可得

s·（ξ）=c1δ·（ξ）+c2δ（ξ）=

c1[（A0-HC）δ（ξ）+A1δ（ξ-τ1）+

A2δ（ξ-τ2）-Br（ξ）]+c2δ（ξ）。（23）

为了抑制高频抖振，并加快系统趋于稳定，选择系统的指数趋近律为

s·（ξ）=-εtanh（s（ξ））-ks（ξ）。（24）

式（24）中-εtanh（s（ξ））是等速趋近项，其中参数ε=diag[ε1，ε2，ε3]，采用双曲Sigmoid函数代替常规指数趋近律中的符号函数，可以减小系统在滑模面附近的抖振现象；-ks（ξ）是指数趋近项，其中k=diag[k1，k2，k3]。

滑模控制器由式（23）和式（24）组成，综合两式得观测器的稳定补偿输入r（ξ）为

r（ξ）=B+{[（A0-HC）δ（ξ）+A1δ（ξ-τ1）+

A2δ（ξ-τ2）]+

c-11 [εtanh（s（ξ））+ks（ξ）+c2δ（ξ）]}。（25）

对状态观测器中的滞后特性进行稳定补偿后，使用观测器的状态估计x^来替代实际系统的状态x进行系统状态反馈控制设计，在式（25）补偿控制的作用下，状态观测器克服两滞后项的影响保持渐进稳定，即观测器误差e～=xr-x^趋于0，观测器输出趋近系统真实状态，从而降低滞后特性对系统状态的影响，提高系统稳定精确追踪预设轨迹的能力。

3.2節中阐述了此RSS模型的控制特点，因此状态观测器及其积分滑模补偿部分的参数同样可以以此为依据进行选择和简化。系统中B+与反馈控制器中设定相同，仍为[1，0，0]，状态观测器增益可以简化为H=h11h12

00

00，滑模参数c1中的c12，c13，c2中的c22，c23，ε中的ε2，ε3，k中的k2，k3均设置为零；此外为了保证系统的稳定性，根据极点配置和滑模变结构控制中指数趋近律的特性，设置c11，c21，ε1，k1>0。这种设置方式不仅确保系统极点配置在复平面的左半平面，同时减少了控制系统的参数数量，有利于简化计算过程，可以得到更好的优化参数。

3.4遗传算法优化控制系统参数

遗传算法是Holland于1975年提出的一种模拟生物界自然选择与遗传机制的进化计算方法[27-28]。为了快速且准确地求得一组最优的控制系统参数，采用基于精英保留策略的非支配排序遗传算法[29]（NSGAII）对RSS控制系统参数进行优化求解。NSGAII具有运行速度快、收敛性好的优点；快速非支配排序算法降低了种群计算的复杂度；精英保留策略保证了进化过程中的优良个体不会被丢弃，提高了算法优化精确度。

选用ITAE（式26）作为控制器性能评价指标，用于评价NSGAII对控制系统参数的优化程度

J=∫