基于Matlab的光栅衍射仿真研究

郑小波 周国庆 张丹妹

摘要：衍射实验在光学实验中尤为重要，首先根据惠更斯菲涅耳原理，计算出衍射光强的表达式，使用Matlab软件，通过调整缝数N、波长λ、光栅常数d这些参数，对衍射光栅的光强分布及谱线特征做了仿真实验，仿真结果与原有的实验结果基本保持一致。因此，把仿真模拟作为教学的辅助工具非常有幫助，可以使学生进一步加强对光栅衍射的理解和认识，并掌握其规律和特征，对于研究以衍射光栅为关键元件的光谱仪器意义重大。

关键词：Matlab；光学实验；光栅衍射；仿真

中图分类号：O43文献标识码：A

光在传播时绕过障碍物边缘继续前进的这种现象称之为光的衍射。衍射系统主要包括光源、衍射屏以及接受屏。衍射光栅是一种光学元件，由一些密集且等间距的平行刻线构成的。对于谱线结构、特性谱线的波长及强度的研究会经常用到它，尤其在物质结构、元素定量分析中应用最多。所以人们对于衍射光栅的谱线特性研究越来越多，并且得到了广泛的关注，但是对它的研究还不是非常全面。本文根据惠更斯菲涅耳原理，计算出衍射光栅的光强公式，然后使用Matlab软件，从光波波长、透过光栅总缝数、光栅常数等几个方面对衍射光栅的光强分布及谱线特征做了仿真实验，在仿真结果中获得了光强分布和谱线规律，并与原有的实验结果基本保持一致，对以衍射光栅为核心元件的光谱仪器的应用研究具有很好的指导意义。

1 光栅衍射理论分析

在对平面光栅衍射进行仿真模拟实验之前，需要了解其试验装置，即图1。S是光源，它是点光源或者狭缝光源且与纸面垂直。S在透镜L1的焦平面，幕在物镜L2的焦平面。由惠更斯菲涅耳原理得到：如果单色平面光波垂直照射于光栅，那么沿θ方向传播的次光波在P上的合振幅和光强可以表示成：

Ep=∑N1m=0A0eimδsincα=A0sincα1-eiNδ1-eiδ=A0sincαsin（Nδ2）sin（δ2）ei（N-1）δ2（1）

IP=E～pE～p=I0sin2αα2·sin2Nβsin2β（2）

式（1）中，α=πbsinθλ，δ=2πλdsinθ，β=δ2=πdsinθλ=dα/b。式（2）中，sin2αα2源自单缝衍射，也就是单缝衍射因子；sin2Nβsin2β源自缝间干涉，也就是缝间干涉因子。

2 Matlab仿真研究

根据公式（2）可以看出，光栅衍射的光强分布和频谱特性主要有λ，N，b，d，f，θ0等参数决定，θ0为入射角。本文使用Matlab软件进行编程，通过各参数值的变化来获得相应的衍射光强分布。在仿真实验中，参数初值定为：λ=632.8nm，N=5，b=0.005mm，d=0.02mm，f=100mm，θ0=0；接下来本文将通过改变缝数N、波长λ、光栅常数d这些参数进行光栅衍射条纹、光强分布的研究。

3 仿真结果分析

3.1 缝数N对衍射条纹的影响

光栅衍射实验过程中，在相邻两主极大间存在着暗条纹。当Nβ等于π的整数倍且β不是π的整数倍时，即sin（Nβ）=0，sinβ≠0，则该点是缝间干涉因子的零点。在如下位置时，零点会存在暗条纹，用公式表示为：

β=（k+n/N）π，即sinθ=（k+n/N）（λ/d）（3）

其中，k=0，±1，±2，3，...；n=1，...，N1。根据公式（3）可以看出，在每个两主极大之间，有（N1）条暗线、（N2）个光强极弱的次级明条纹，但是上述条纹基本看不到。据半角宽度得到：

Δθ=λNdcosθ（4）

当N分别为2和5时，在幕上形成的相对光强分布以及衍射花纹如图2：

由图2可以看出：当N改变时，主极大的位置不发生变化，但其宽度随N增大而变小；相邻主极大间存在N1条暗纹、N2条次极大；主极大亮线的半角宽度随N增大而变小，主极大锐度随N的增大逐渐变大，衍射图样上主极大亮纹变细，相对应的次极大线宽减小，亮度也变弱。

3.2 波长λ对衍射条纹的影响

改变波长λ，衍射光强分布如图3：

从图3可以看出：随着λ不断变大，衍射条纹主极大位置没有发生变化，但次极大的位置沿两边进行移动，主（次）极大的半角宽度与主（次）极大条纹之间的距离变大，衍射谱线逐渐变宽，锐度越来越不好。

3.3 光栅常数d对衍射条纹的影响

改变光栅常数d，衍射光强分布如图4：

从图4观察到：随着d的增大，衍射光强主极大半角宽度与主极大条纹之间的距离变小；主极大的位置向中央亮纹进行靠拢；衍射谱线逐渐变窄，锐度变得越来越好。

4 结语

随着计算机技术的不断完善和发展，计算机仿真技术逐渐被人们广泛使用，现在已经发展成一种重要的技术手段。尤其在光学实验当中，可以使用计算机仿真技术对光学实验进行模拟仿真，有利于菲涅耳原理，计算出衍射光强的表达式，然后使用Matlab软件建立平面光栅衍射的数学模型，并对衍射实验学生们进一步理解和掌握光学实验的特征及规律。本文对平面光栅衍射进行了介绍，然后根据惠更斯进行仿真模拟。因此，把仿真模拟作为教学的辅助工具有助于学生进一步加强对光栅衍射的理解和认识，并掌握其规律和特征，对于研究以衍射光栅为关键元件的光谱仪器意义重大。

参考文献：

[1]李叶丹，宫彦军，郭振威，刘海阳，贾竹君.利用仿真实验改善光栅衍射教学效果[J].湖南科技学院学报，2016，37（10）：1719.

[2]孙运周，毕浩，胡中华，王闵.基于MATLAB的物理光学衍射实验平台的仿真与设计[J].教育现代化，2018，5（10）：151153.

[3]段丁槊.正入射光栅衍射现象实验研究[J].科技创新与应用，2018（16）：1314.

[4]张明霞，令维军，路飞平.光栅光谱分布特性分析与讨论[J].天水师范学院学报，2018，38（02）：1719.

[5]邵瑞.浅谈matlab演示光栅衍射[J].牡丹江教育学院学报，2016（02）：135136.