浅谈高等代数在中学数学中的活跃性探究

江鸿杰　毋晓迪

高等代数是学习数学与研究数学的基础必备科目之一，它是初等代数的延伸。其中，高等代数的一些思想、方法和理论观点都可以运用到中学数学中来解题；从知识方面和思想方面来讲，高等数学与中学数学的联系是紧密的，可以将高等代数中浅显的知识点直接运用到中学数学中，起到简化运算的目的，例如多项式的理论应用与矩阵等，本文笔者将从几道典例来浅析高等代数与中学数学的實质联系。

运用高等代数的视角去剖析高等数学与中学数学之间的联系是很有必要的策略，进而能使学生以中学式思维方式向高等数学思维方式转变。作为教师，应该熟知中学教学的所有内容，能利用高等数学的一些观点灌输给学生一些思想和方法，进而能促进知识的深化。

1 高等代数与中学数学在知识方面的联系

1.1 行列式的应用

虽然矩阵与变换为人教版新课标高中数学课本选修模块系列中，但是，对于一些典型的问题，在许多考试中有着命题基础，例如求函数的解析式，因式分解等等，笔者就给出一道例题，已知函数 ，满足 ， ， ， ，求 .

分析 由已知条件得 把上式看成关于 ， ， ， 的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式 ，由行列式与线性方程组的理论，可得 ， ， ， ，即

.

1.2 柯西不等式的应用

在欧氏空间 里，取 ， 时，就有

柯西不等式：对任意实数组 和 ，有

.

当且仅当 时，上式的等号成立，特别的， 时，有 .

例 已知 为 内一点， ， ， ，点 到 的三边 ， ， 的距离分别为 ， ， .求证： .

证明 由题意知 ，要证明结论成立，只需证

，由柯西不等式得，上式显然成立，所以 .

1.3 二次型的应用

定理 设 元二次型 ，则 在条件 下的大（小）值恰为矩阵 的最大（小）特征值.

例 设 ，且满足 ，求 的最大值与最小值.

分析：二次型 的矩阵 ，则 ，

解得 ， ，于是由以上定理可得， 在 下的最大值为 ，最小值 .

2 教学启示

现阶段中学教师很少在课堂教学上涉及到高等数学的知识和观点，这些教师在认知上存在一些误区，比如认为高等数学的知识用不到中学数学课堂教学中，而中学数学的程度抽象化是无法与高等代数相比拟的。而高等代数却能帮助我们更加浅显的理解其中的本质。比如通过向量的加法和数乘的观点，可以将平面向量向空间向量抽象化，同事，也可以通过将内积与实数域上的向量空间相结合，就成功的抽象出了欧氏空间。

现阶段中学数学主要是应用于教育，最重要的是能解决一些简单的问题，比如，面积、体积无法适用于更加复杂的问题。相比之下高等代数除了有教育功能之外，其在应用上更胜于中学数学。

（作者单位：广西民族大学理学院）