基于APOS理论的中职数学概念课教学设计探析

吴绍霞

[摘 要] 介绍APOS理论的内容及其对数学教学的启示，并以平面向量的概念为例，提出了合理的教学设计，克服了概念教学中孤立传授概念内容，以练代讲，不能熟练运用概念、联系概念的缺点。

[关 键 词] APOS理论；平面向量；概念学习

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）11-0106-02

一、提出问题

数学概念是客观对象的数量关系和空间形式的本质属性的反映，是数学学科知识体系的基础，是建构数学框架的基石。因此，数学概念的学习就是数学学习的核心。数学概念排除了对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性。在教学中，由于数学概念的抽象性和概括性，使很多学生学起来头疼。原本中职生的数学基础薄弱，对抽象的概念难以理解，学习中更是难上加难。如何上好中职的数学概念课，让学生从根本上理解概念，并掌握数学概念呢？本文以《平面向量的概念》一课为例进行探讨。

二、APOS理论

20世纪90年代后，建构主义理论的教育理念迅速流行，主要观点认为学生获取知识是通过学习主体自主构建，而不是被动接受。APOS理论是以建构主义理论为基础的数学学习理论。由美国的杜宾斯等人提出，主要针对数学概念的学习，从心理学的角度将学生学习数学概念的过程分成四个阶段：Action（操作）阶段、Process（过程）阶段、Object（对象）阶段和Scheme（圖式）阶段。

（一）Action（操作）阶段——引入

本阶段是学生理解概念的基础，通过适度的“操作活动”感受概念的背景和概念之间的关系，是感性认识阶段。

（二）Process（过程）阶段——概括

充分发挥学生的主体能动性，通过对前一阶段的操作活动进行思考，经历思维的内化和压缩，在头脑中进行描述和反思，抽象出概念的定义。

（三）Object（对象）阶段——分析概念的内涵与外延，揭示概念的关系

通过对概念演化过程中资料的分析、抽象，认识概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象。

（四）Scheme（图式）阶段——深化

学生不断调整自身已有的认知结构，能在与其他概念联系中系统认识新概念，形成综合的心理图式。

APOS理论充分反映了个体认知数学概念的思维过程，解释了数学概念学习的本质，对中职数学概念的教与学都具有极大的启发意义。

三、教学设计

（一）教学内容解析

本课采用的教材是由李广全等主编，高等教育出版社出版的数学（基础模块）下册（修订版），内容选自第七章《平面向量》的第一节平面向量的概念。

向量是集“数”“形”于一身的数学概念，典型地体现了数形结合的思想，沟通了代数、几何与三角的联系。教材中对向量概念的学习方式是：实际例子（不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同）——数形对比（数量与向量）——从过程中提炼出平面向量的概念。但由于学生对数的学习已经很熟练，对物理学中的“力”比较抽象，在学习向量时形成了负迁移，导致学生对“方向”缺乏充分的理解，不利于学生深入地掌握向量的本质，发展数形结合的思维。

（二）教学重难点

本课的教学重点是平面向量的概念，平面向量的两个要素及几何表示。难点是理解平面向量的概念和共线向量的概念。

重难点突破：通过3个实例层层加深学生对向量“方向”的感受，剖析实例引导学生抽象出向量的概念。通过在几何图形中理解、归纳出相等向量、共线向量、负向量等概念，认识向量概念的本质，也就认识到它的表达式不是唯一的，表达形式是可变的。

（三）教学目标解析

通过创设情境，结合生活中的实例，引导学生深入理解向量的两个要素——大小和方向，理解向量的概念和几何意义。能区分数量与向量的关系，知道数量可以比较大小，向量不可比较大小，但是向量的模也可比较大小。会根据有向线段判断两个向量是否是相等向量、平行向量或是负向量，从实例中抽象出向量概念的活动，培养了学生的数形结合思想和抽象概括能力，慢慢学会抓住问题的关键。

教学过程中充分调动学生的参与热情，鼓励学生通过活动、生活经验主动地参与课堂教学的每一环节，体会向量路标作用的同时感受向量运算的力量，收获成功的体验。

（四）教学过程设计

依据APOS理论，本课的教学分四个阶段：

1.操作阶段：创设情境，问题引导

（1）活动：我是模特。要求A、B两位学生按照给定的路线行走，请大家思考：在这个过程中，出现了什么量？它们有相同之处吗？又有什么不同？（图1）

（2）帮帮我：我要从A地坐公交车到B地，在公交站牌上也找到了B地，上车后司机却让我马上下车。为什么？

（3）一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，水流速度为5 km/h，你能指出渡船实际航行的大概方向吗？如果渡船想以垂直于河岸的方向航行，它需要朝哪个方向航行？（图2）

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图1 图2

设计意图：（1）现场的演示，让学生直接观察A、B两位同学行走的过程，对相同的距离脱口而出，而思考不同之处及如何表达，引导学生初步了解“方向”。

（2）中“我”强调上车站点准确无误，让学生在生活经验中思考“搭错车”的失误在哪里，加深对“方向”的体验。

（3）并不要求学生计算出准确的答案，只需根据前两个问题的铺垫，对渡船的大概航行方向做出判断，感受左右渡船航向的因素仍离不开“方向”。

通过以上的活动、比较、归纳等数学操作活动，学生对平面向量的概念有了感性的认知。

2.过程阶段：对照引例，形成概念

我们可以发现，在上述例子中，A、B两位学生虽然行走的路程相同，但是起点、重点相反；“搭错车”的根本原因就是起点、终点的判断出错；渡船的实际航行速度既由作用在船上的不同量的大小确定，也与它们的方向有关。即使两个量起点与终点间的长度相等，若是方向不同，那么它们就表示不同的量。决定这些量的要素有两个：大小和方向，大小可用线段的长度表示，方向则由起点和终点确定，用箭头表示。由此得出只有大小没有方向的量称为数量，总结出平面向量的概念：既有大小又有方向的量称为向量，记作■或■。

设计意图：把引例中的数学问题进行压缩、提升，将平面向量的“有向”性特征反复强化，描述出来，把向量概念加入学生已有的认知结构中。

3.对象阶段：概念剖析，巩固强化

在本阶段反复强调手写体的向量一定要加箭头。

基于学生对平面向量概念的初步认识，采用了课本上的2道例题。

例1.一架飞机从A处向正南方向飞行200 km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200 km，两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移。

设计意图：强调平面向量是具有大小和方向的量。在实际问题中，要求学生正确标出东、南、西、北四个方位，用有向线段表示相应的向量，进一步熟悉向量的概念。

例2.观察图3中的向量■与■、■与■。

（1）说出它们的关系；

（2）若小方格边长为1，写出图中各向量的模。

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图3

设计意图：学生能很快判断出向量■与■所在的直线平行，模相等，方向相同；向量■与■所在的直线平行，方向相反。在引导下归纳出平行向量（共线向量）、相等向量（自由向量）、负向量等概念。写出每个向量的模使学生对向量的大小和方向理解更为深刻。

而零向量、单位向量等特殊向量的学习让学生对向量概念的理解上升到理性阶段。

4.图式阶段：对比例题，深入解析

例3.在平行四边形ABCD（图4）中，O为对角线交点。

（1）找出与向量■相等的向量；

（2）找出向量■的负向量；

（3）找出与向量■平行的向量。

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图4

设计意图：结合平行四边形的性质，让学生在几何图形中运用相等向量（大小相等、方向相同）、負向量（大小相等、方向相反）与平行向量（方向相同或相反）的概念找出满足条件的向量。通过对例题的分析求解，深化目标，学生最终形成自身平面向量概念的心智结构。

通过本课的学习，学生的认知结构中只能形成平面向量初始阶段的图式，今后还需要长期的学习活动（如向量的三角形法则与平行四边形法则、线性运算、数量积等）进行完善。

紧扣本节课的重难点，布置课本第28页练习7.1.1中3道习题，帮助学生应用知识，强化训练。

最后进行归纳小结，布置作业。

四、设计体会

APOS理论使学生对平面向量概念的理解做了四层分析，真实反映了学生对概念学习的心智建构过程，揭示了概念学习的本质。学生对平面向量概念的学习不是线性的，而是呈循环螺旋上升的形式，在必要的地方联想到这些概念的应用。本课基于APOS理论的教学设计，本质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，学生在形成平面向量概念时自觉地完成了由感觉、知觉到表象，由感性认识到理性认识的过程。这种将概念形成的过程交由学生自主建构，形成新的概念并纳入自身已有的概念体系的教学过程，使学生对平面向量概念理解更为深刻、有意义。

参考文献：

[1]李广全，李尚志.数学（基础模块）下册（修订版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]顾泠沅，鲍建生.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]顾泠沅，黄金荣，李业平.数学课堂教学研究[M].上海：上海教育出版社，2010.

[4]翁凯庆.数学教育理论[M].成都：四川大学出版社，2007.

[5]李莉.学生学习数学概念的层次分析[J].数学教育学报，2002（3）：13-16.

[6]曹良华.“空间向量的数量积运算”教学设计与反思[J].中学数学，2016（3）：18-21.

[7]王晓娟.APOS理论在初中数学概念中运用的策略研究：以函数概念为例[D].西南大学，2013.