任务驱动法在函数的微分教学中的应用

秦琳，张恩路

[摘           要]  以建构主义为背景，在课堂教学中采用任务驱动教学模式，按照任务驱动教学模式的建构过程，对《函数的微分》这一课题进行课堂设计。围绕一个中心任务——紧固件喷涂量计算，将知识点巧妙穿插串联。这是对教学模式和教学方法一次改革的尝试。

[关    键   词]  任务驱动; 函数微分;建构主义

[中图分类号]  G712                   [文献标志码]  A                    [文章编号]  2096-0603（2018）27-0180-02

一、背景

任务驱动的教学模式是建构主义理论和信息技术相结合的产物，是由教师将所要学习的新知识转化成一个或几个具体的任务。学生在强烈的问题动机驱动下，通过有效地查找和使用各种学习资源，对所提的任务进行分析、讨论，明确新旧知识间的联系，再在教师的指导帮助下找出解决问题的方法，最后通过任务的完成实现对所学知识的意义建构，从而培养出独立探索、勇于开拓进取的自学能力和解决实际问题的能力。

本文应用任务驱动教学法，按照任务驱动教学模式的实施过程，运用数学建模的思想，对《函数的微分》这一课题进行教学设计，与专业课相衔接，实施高等数学教学改革的尝试。

二、教学实践

【设计任务】备课环节中，在分析课程目标和学生特征的基础上遵循吸引学生、分层设计和系统达标等原则设计任务。

本课题的教学目标：理解并掌握微分的概念;领会数学思想;提升两种能力。

教学方法：任务驱动、情境教学。围绕一个中心任务——紧固件喷涂量计算，将知识点巧妙穿插串联。

【实践任务】现有一批定量的机械零件，要对其表面进行喷涂，以延长使用寿命，需要多少涂料呢？

【分析任务】这是对机械零件喷涂的涂料用量的预算问题，通过对涂料用量的科学计算，可以降低成本，减少浪费，提高效率。此任务贴近机械专业，学生对机械零件比较熟悉，能很快进入情境，具有直观性和形象化的特点，激发学生探究新知的欲望。接下来引导学生对该任务进行分析、建模。

机械零件种类繁多，在这里我们以常见的柱状零件——螺栓、螺柱、圆柱销为例。

引导学生分组讨论，要完成此任务，需要做什么模型假设，需要解决哪些问题，引导学生形成正确的解决任务的思路和计划。

【假定】要喷涂的零件是圆柱销，且只喷涂圆柱销的侧面，涂层均匀。要计算涂料的用量，根据m=ρv，涂料的密度ρ是一个常数，只需要计算涂层体积就可以。

【问题建模】已知一圆柱体底半径为r0，高为h。当底半径增加Δr时，试计算体积的改变量（用ΔV表示）。

此时适时提问学生，怎么计算涂层体积的精确值呢？有学生积极回答：用圆柱的侧面积乘以涂层的厚度。教师再次引导，这样计算得到的是涂层体积的精确值吗？学生在教师的提示下恍然大悟，这样计算并不是精确值。

那么ΔV的精确值该如何计算呢？有的学生马上想到用体积差来计算。即

ΔV=π（r0+Δr）2h-πr02h=2πr0h·Δr+πr（Δr）2=2πr0hΔr+πh（Δr）2

我们用了7次乘法，1次加法，得到了涂层体积的精确值。但是这样计算计算量比较大，如何能够减少计算量呢？在计算机科学中，有一个重要的思想，那就是在精度要求不是非常高的情况下，我们考虑用精度换速度，那么

ΔV=2πr0hΔr+πh（Δr）2   （1）

在完成任务的过程中，再次对学生提出问题：（1）式中如果只保留一项，计算量能减少，但是精度能保证吗？有两个相关联的问题需要解决：（1）式中如果只保留一项，该保留哪一项？保留下来的这一项作为ΔV的近似值，精度高不高？为回答这两个问题，引导学生从立体几何的角度进行剖析。

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从图形上看，要求的ΔV，实际上就是这样一个很薄的圆环柱体的体积（如图a），动员引导学生沿红色的地方将圆环柱体剪开，然后展开，会得到一个什么樣的立体呢？通过动画演示，可以看到展开后是一个棱柱，棱柱的截面是一个等腰梯形。将其平铺，棱柱的相关数据可以根据圆环柱的数据得到。将棱柱做进一步处理，沿着上边缘线竖直向下切开，棱柱就变成了三部分，中间是一个长方体，剪下的两部分是同等大小的三棱柱，这两个小三棱柱可以通过重组拼接成一个小长方体。大长方体的体积等于2πr0hΔr，小长方体体积等于πr（Δr）2，ΔV=■+■，这一大一小长方体的体积，恰好对应着（1）的两项。

这样，前面两个问题就得到了解决，谁去谁留？显然要舍弃小长方体的体积，保留大长方体的体积，得到ΔV的近似值。同时从几何角度也得到，用大长方体的体积来近似涂层的体积，精度上可以得到保证。

因此，ΔV≈2πr0hΔr，在这个式子里，Δr即为涂层的厚度，2πr0h即为侧面积，用侧面积乘以涂层厚度，这正是我们最先想到的办法。这样我们从几何角度证明了学生最初的想法，虽然不是精确值，但是它却可以有效降低计算量，同时满足一定的精度，因此不失为完成任务既快又好的方法。同时，2πr0h除了是侧面积，与体积函数又有什么关系呢？如果保持h不变，2πr0h是体积函数对r的导数，即ΔV≈V′|■·Δr。其实，函数导数与自变量增量成绩的形式出现在函数增量的近似值中并非个例，在数学发展史上，数学家正是发现了这一特点，经过艰苦努力的研究，得到函数增量近似表达式的一个重要的数学概念——函数的微分。

以上我们利用建构主义理论，引导学生建立了一个新的数学概念，在这个过程中，学生可以通过不断发现问题、解决问题找到成就感，另一方面，教师可以通过交流讨论、引导建构等方式关注学生，以此来肯定、激励、指导学生。对学生的不同结论要及时总结和分享，在不斷的反馈评价中，构建完善的知识体系，必要时加以拓展应用。

在本节课的教学中，我们也及时对函数微分的概念进行实际问题的延伸，以此对知识点进行拓展。

【任务延伸1】紧固件螺纹部分的喷涂计算问题，如何解决？

查阅GB/T5267.1-2002，针对规格为M10×100（直径为10mm，长度为100mm，螺纹杆长为52mm）的螺柱，估算其侧面涂层的体积（假定涂层厚度为0.05mm）。

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【任务延伸2】（油路检修）保证发动机的油路畅通是发动机日常维护的一项重要内容。日常工作中，由于一些因素的影响，通常会使发动机的油管半径变小，因此需要定期对油管进行疏通。假定在固定压力下，单位时间内通过油管的油料体积V与油管半径r的四次方成正比，即V=kr4。问：如果油路疏通使油管的半径r增加3%，那么V会增加多少？

通过对上述延伸任务的解决，学生真实地感受到发动机的日常维护工作很重要。

三、效果反馈

通过在课堂中实际采用任务驱动教学模式授课，提高了课堂的教学质量，培养了学生学习数学的兴趣及责任感。通过与实际任务相结合的方式，让学生了解数学，了解数学的美。学生通过运用所学的数学知识解决一些实际生活中遇到的问题，使学生体会到解决实际问题的快乐，从而培养学生的兴趣。

四、教学思考

教学改革是一项长期、复杂、艰巨的系统性工程，我院数学教师通过多次学习研究“十九大”报告精神及《教育部关于全面提高高等教育质量的若干意见》（教高【2012】4号）等文件，发现校企合作、基础与专业深度融合，培养适应社会需要的复合型人才是高等职业教育的发展趋势。在下一步的教学改革尝试中，进一步改变传统教学模式为模块化教学模式，按照若干个相对独立的知识点，将“高等数学”课程内容分为几个模块，各专业可依据专业课程的需求，选择合适的若干模块组合进行学习。在模块组合教学过程中，教师可依据不同内容要求、不同专业要求，灵活运用多种教学方法。通过教学改革，突出培养学生的数学交流能力和数学迁移能力。在学习过程中用数学的语言表达数学的思想和情感，突出数学知识的应用性和数学知识专业应用中的迁移性。在设计教学过程时，教师尝试使用与专业技术课程、专业课程的实际应用密切相关的基本案例。

参考文献：

[1]马巧云，刘同生，张晓梅.大学数学的任务驱动型教学模式研究[J].中国电力教育，2014（297）：119-120.

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[3]吕楠.数学教学中“任务驱动法”的灵活运用[J].邯郸职业技术学院学报，2008（21）：83-85.

[4]汪良防.趣味导入法在高职数学教学中的应用探究[J].山东商业职业技术学院学报，2017（4）：50-52.