开式投入—产出模型探讨

何裕平

[摘 要] 利用线性代数知识探讨在生产管理等方面的应用。通过建立问题的数学模型，解决人们生活中实际的问题。

[关 键 词] 线性代数；数学模型；开式投入—产出模型

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）06-0163-01

开式投入—产出模型的研究对象是k个企业组成的经济系统。它与闭式投入—产出模型的不同点在于：（1）产品除了满足本系统的内部各企业的消耗外，还有一部分产品满足经济系统外部的要求。（2）产品的价格是固定的。（3）每个企业的产量与需求是平衡的，所求的是各企业的产量。因为价格是固定的，所以可以用各企业产值来衡量产量。

设1.xi为第i个企业的总产值，xi≥0 （1）

2.di为系统外部所需求的第i个企业的产值，di≥0 （2）

3.cij第j个企业生产单位产值所需用第i个企业的产值，cij≥0

由此得到向量x，d和矩阵c，x=x1x2…xk称为生产向量d=d1d2…dk≥0，称为需求向量，c=c11 c12 … c1kc21 c22 … c2k… … … …ck1 ck2 … ckk≥0 称为消耗矩阵，从cij和xj的定义，可以得出■cijxj是第i个企业消耗于经济系统内部的产品总值。因而xi-■cijxj是第i个企业可供外部使用的产值。它应该等于系统外部需求量di。另一方面■cijxj，又正好是列向量cx第i个分量，因此我们得到下列方程

x-cx=d （3）

即（I-c）x=d，因為c与d是已知的，可求x。

实际上，人们希望经济系统对任何外部需求都有唯一的生产方案，即（3）对任何需求向量d≥0都有非负的唯一解，消耗矩阵c应满足一定的条件。可以证明：若消耗矩阵c的任何一行（或一列）元素之和都小于1，则有非负的唯一解。

例 某镇有三个主要企业：煤矿、电厂和铁路。设在一周内，每个企业生产1元产值的消耗以及外部对各企业产值的需求量列表如下：单位（元）

为了恰好满足内外全部需求，问每个企业一周内产值各为多少元？设：煤矿、电厂、铁路一周总产值分别为x1，x2，x3则有生产向量x=x1x2x3需求向量d=50000250000，消耗矩阵c=0 0.65 0.550.25 0.05 0.100.25 0.05 0，方程组（I-c）x=d为1 -0.65 -0.55-0.25 0.95 -0.1-0.25 -0.05 0x1x2x3=50000250000

因为系数矩阵可逆，所以解为

x=x1x2x3=（I-C）-1=■756 542 470220 690 190200 170 63050000250000=1200875616328330

通过实例，利用开式投入—产出模型，解决了我们生活中实际的问题。

参考文献：

[1]David C.Lay线性代数及其应用[M].机械工业出版社，2005.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].高等教育出版社，2011.