基于Java虚拟机的不同温度条件下乒乓球飞行轨迹仿真研究

徐家杰 李春 任杰 季云峰 施之皓

摘 要： 考虑乒乓球飞行轨迹受温度影响，在飞行中受到重力、阻力及Magnus力的共同作用，根据空气动力学原理，通过Java虚拟机仿真模拟建立乒乓球右上旋飞行的动力学方程，仿真得到乒乓球三维空间右上旋飞行轨迹，对比分析乒乓球在不同环境温度时的右上旋飞行轨迹。仿真结果表明：环境温度对乒乓球的运动轨迹影响较大，温度越高，乒乓球轨迹越长，高度越高。

关键词： 乒乓球；温度；Magnus力；空气动力学；Java虚拟机

中图分类号：G846 文献标识码：A 文章编号：1009-9840（2018）02-0074-03

在各种球类运动里，乒乓球是最富有观赏性和竞技性的高难度运动[1]。乒乓球之所以被称之为高难度运动主要原因有：首先是乒乓球在飞行过程中飞行时间极短（大约0.55 s），飞行距离也很短（最大2.74 m），因此乒乓球飞行球速很快（通常速度为5 m/s）；其次是乒乓球飞行过程中带有旋转速度，且旋转速度很高（通常3 000 rpm）；最后是乒乓球比赛中复杂多变的技战术 [2]。

在乒乓球比赛中，主要有以下六大旋转球：上旋、下旋、左侧旋、右侧旋、顺旋以及逆旋。球的旋转对乒乓球运动员存在极大的威胁，其中隐含的威胁不仅是乒乓球战术上的变换，而且还有共同特点也就是旋转。本文主要对右上旋乒乓球展开讨论。在各种球类运动中，乒乓球的旋转球、排球的侧旋球以及足球的“弧线球”都有着相同的旋转效应，这就是空气动力学中的Magnus效应[1]。其外在表现为旋转球在飞行过程中飞行轨迹发生弯曲；使轨迹产生弯曲的力称为Magnus力，Magnus力大小由旋转速度、飞行速度以及密度决定[3-4]。文献[3]将乒乓球弧圈球的运动方程建立在二维平面中，并对其空气动力原理以及飞行轨迹进行了仿真分析，发现乒乓球的转速显著地影响着乒乓球的飞行轨迹，转速不同的弧圈球有着明显不同的飞行轨迹；深入研究表明，导致乒乓球速度及转速变化的直接原因是Magnus力（包括其大小和方向）；同时文献[4]也对于旋转球做出研究，并得到Magnus力的方向会影响乒乓球飞行轨迹以及落点的结论。

乒乓球在比赛中的间歇式运动，不仅要考虑旋转速度对乒乓球影响，同时还要考虑不同环境/比赛条件对乒乓球是否会产生影响以及究竟会产生多大影响，文献[5]虽提到不同环境条件下对于棒球、高尔夫以及网球产生的影响具有争议性，但仍然认同环境影响的客观存在。本文基于以上考虑，通过Java虚拟机仿真，从理论上探讨不同温度条件对乒乓球右上旋飞行轨迹以及落点的影响。

1 建立坐标系及计算载荷

1.1 建立坐标系

将乒乓球球桌的一角建立为绝对坐标系的坐标原点，X轴方向为与球桌长边平行朝向球网的方向，Y轴方向为与球桌宽边平行的方向，Z轴方向为垂直于球桌竖直向上；显然，这个建立在球桌一角的坐标系是右手坐标系；描述乒乓球飞行轨迹所选的参考系为这个建立在球桌一角的绝对坐标系，利用乒乓球的位置参数表现乒乓球的飞行轨迹。相对坐标系的XYZ轴方向分别平行于绝对坐标系的XYZ轴方向，相对坐标系固连于乒乓球并沿乒乓球的飞行轨迹而运动；乒乓球在空中飞行时，其速度方向和受力方向可在相对坐标系的坐标轴方向上分解，得到相对坐标系下的速度方向参量，从而得到的位置参量可用于描述乒乓球的飞行轨迹。

1.2 计算载荷

[JP2]当乒乓球的飞行速度方向与旋转轴的方向垂直时，旋转的乒乓球在飞行过程中除了受到的重力作用外还受到其他力的作用，包括空气阻力以及Magnus力[6]。[JP]

对于乒乓球比赛中所使用的乒乓球及乒乓球桌，国际乒联都做出了详细的规定：比赛用球为半径2 cm质量2.7 g的乒乓球，比赛球桌尺寸为274×152.5×76 cm、球桌网高15.25 cm。

1.2.1 空气阻力

乒乓球在飞行过程中受到与其速度方向相反的空气阻力，且速度越大空气阻力越大，空气阻力的计算表达式为：

1.2.2 Magnus力

旋转的乒乓球在飞行过程中，由于Magnus效应的作用使其实际飞行轨迹偏离原有飞行轨迹，这个由于乒乓球的旋转受到的作用力被称作为Magnus力。Magnus（Heinrich Gustav Magnus）在1852年通过实验研究了旋转圆柱体的Magnus效应[7]。以做上旋的乒乓球为例，乒乓球下方的旋转方向与流体速度方向相反，流体速度因乒乓球表面的粘性作用而减小；乒乓球上方的旋转方向与流体速度方向相同，表面的粘性作用与下方相比较小，使得流体速度大于乒乓球下方流体的速度。据伯努利方程可知：流速大的地方压力小，流速小的地方压力大。因此乒乓球上方的压力小于下方的压力，产生一个综合向上的力作用于乒乓球，这个综合的作用力也就是Magnus力 [8]：

2.1 动力学方程

根据牛顿第二定律将作用力及加速度向各方向分解，构建三维力学方程：

2.2 初始温度条件

2.3 JAVA虚拟机实现流程

乒乓球的初始温度参数作为输入条件，乒乓球飞行轨迹的运动方程采用如图1所示的程序算法流程进行求解。程序计算中输出的轨迹包括无效球（乒乓球未过网超界、碰网或过网超界）轨迹和有效球（乒乓球过网未超界且落回桌面）轨迹；因为无效球飞行轨迹和飞行时间都较短，故仅将有效球轨迹作为结果分析对象以减小误差。

3 结果与分析

如图2所示，给出五种不同初始温度条件下两个方向上的二维图：图2（a）为乒乓球X轴方向与Z轴方向位移的平面图，图2（b）为乒乓球X轴方向与Y轴方向位移平面图。

4 結论

通过求解不同的初始温度条件下乒乓球的运动方程，得到不同初始温度条件下乒乓球的飞行轨迹，分析所得结果，得出以下结论：环境温度的改变，会使乒乓球飞行轨迹发生变化；如乒乓球做右上旋旋转时，在X轴方向和Z轴方向的飞行轨迹随温度的上升而增长，在Y轴方向变化不明显。

参考文献：

[1]刘北湘.运动生物力学运动技术分析与评价[M]. 成都：四川科学技术出版社，2008.

[2]Tamaki T， Sugino T， Yamamoto M. Measuring Ball Spin by Image Registration[C].Proc. of FCV2004，the 10th Korea-Japan Joint Workshop on Frontiers of Computer Vision，2004.

[3]孙在， 余广鑫， 郭美，等. 乒乓球弧圈球的空气动力学原理及其飞行轨迹的仿真分析[J]. 体育科学， 2008， 28（4）：69-71.

[4]杨华， 关志明. 基于ODE的乒乓球运动轨迹仿真研究[J]. 计算机仿真， 2011（9）：230-233.

[5]Mehta R D. Aerodynamics of sports balls[J]. Annual Review of Fluid Mechanics， 1985， 17（1）：151-189.

[6]李宏德. 乒乓球右侧上旋球的运动力学[J]. 河南机电高等专科学校学报， 2010（6）：40-41.

[7]Glenn Research Center. Ideal lift of a spinning Ball[EB/OL]. [2008-08].http：//www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/beach.html.

[8]潘慧炬.马格努斯效应的力学模型[J]. 浙江体育科学，1995（3）：16-19.