数概念：基于“历史发生原理”的教学建构

厉薇

摘 要：“数概念”是数学的重要组成部分，标志着数学的发展。“数概念”必须基于“历史发生原理”进行教学建构。以《认识负数》为例，教学中必须让学生充分经历负数概念的诞生过程、负数符号的创生过程和负数意义的生发、拓展、延伸过程，不仅让学生获得对负数概念的深刻理解，也让学生获得人文精神的熏陶。

关键词：数概念；历史发生原理；教学建构

“数概念”是小学数学的重要组成部分，小学数学中的“数概念”主要包括自然数、分数、小数、负数等概念。对于“数概念”的教学建构，笔者认为，应当遵循、依托、借鉴、融入“数概念”的历史诞生历程展开教学。只有让学生经历了“数概念”的数学化过程，才能让学生深刻理解“数概念”的数学本质，凸显“此类数”与“其他数”之间的逻辑关联。本文以《认识负数》为例，探寻基于“历史发生原理”的教学建构。

一、历史掠影及其教学思辨

美国著名数学家、数学史家克莱因曾经指出：“数学历史是数学教学的指南。”相关研究也表明，学生认识“數概念”的历程和人类认识“数概念”的历程有着惊人的相似。因此，数学史上的“数概念”演进过程为学校教学“数概念”提供了重要参考，在数学教学过程中，教师有必要研究数学历史材料，以此组织“数概念”的教学。

（一）历史掠影

史料记载，我国是认识负数较早的国家。战国时期，李悝（约前455年-395年）在《法经》中已应用负数。“衣五人终岁用千五百不足四百五十”，其意是：5个人一年开支1500钱，入不敷出。所谓“不足四百五十”，即差450钱，“不足”即最早的负数概念。在甘肃居延出土的汉简中，则有“相除以负百二十四算”“负四算，得七算，相除得三算”等叙述。“负”“得”并论，“负”即亏空、缺少之意，这是负数概念的雏形。据我国古代经典著作《九章算术》记载，早在2000多年前，我国古人就提出“粮食入仓为正，出仓为负；收入得钱为正，支出的钱为负”的思想，且出现了负数计算法则——“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”，其意为：同号两数相减，等于其绝对值相减；异号两数相减，等于其绝对值相加（取绝对值较大者符号）；零减正数得负数，零减负数得正数。后我国数学家刘徽明确提出正负数概念，在规定筹算时，提出“正算赤，负算黑”的思想。东汉末年刘洪和宋代杨辉也论及了正负数加减法则，皆与《九章算术》一致。尤为称道的是，元代朱世杰在其著作《算学启蒙》中给出正负数乘除法则：同名相乘为正，异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负。

在西方，负数的认识经历了一个漫长而曲折得历程。但与中国数学家不同的是，西方数学家更多的是关注负数存在的合理性。公元15世纪，丘凯和斯蒂弗尔称，“从零中减去一个大于零的数得到的数”小于“一无所有”，是“荒谬之数”；公元16世纪卡尔达诺认为负数是“假数”。就连大数学家韦达在解方程时都力避负数。而天才数学家帕斯卡尔认为，“从0减去4”纯粹胡说；英国数学家弗伦德认为，只有那些喜欢信口开河、厌恶严肃思维的人才谈论比没有还要小的数，等等。可见，负数被人们得接受经历了一个漫长的过程。直到400年前，法国数学家吉拉尔首次用“+”表示正数，用“-”表示负数。这种表示方法被广泛接受，并沿用至今。直到19世纪，实数理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才得到真正确认。

（二）教学思辨

早在19世纪，德国生物学家海克尔提出了一个生物发生学定律：一个个体的发育史会重蹈其种族的发育史。著名数学教育家波利亚也曾这样说：“只有理解了人类如何获得某些事实或概念得知识，我们才能对人类的孩子如何获得这些知识做出最好的判断。”显然，对“负数认识史”的研读，可以让我们更加细腻地、科学地预判儿童在认识负数中可能会产生哪些困惑，可能会遭遇哪些障碍，可能会形成哪些困难等。例如，人类认识负数的一个不可逾越的“坎”是：如何将负数纳入已有的“数系统”之中？如何让“新的负数”和“已有的数”取得和谐？尤其是，负数与0之间有着怎样的关系？从人类的认识过程看，负数的概念比负数的运算早，而在负数的运算中，加减法比乘除法又要易于认识、接受。可见，对负数的认识，不在于概念的抽象性，而在于人类怎么跨越自己已有的认识，怎样将新旧知识融通起来。为此，教学中，教师必须高度重视“0”的意义的建构，即“0”不仅表示没有，还可以表示边界、表示标准。正是因为确定了“0”，正负数是表示“具有相反意义的量”才水到渠成。有了这样的完备数学体系，数学减法的封闭性也就自然而然地形成了。

二、目标定位及教学设计

在对“负数”的历史进行深入研读和教学思辨的基础上，我们可以顺着人类认识负数的思路、历程设计教学内容。

（一）目标定位

笔者设定的教学目标是：（1）让学生在情境中，经历“负数”的数学化、符号化的历程；（2）理解负数的数学意义，体会负数的产生背景，会正确地读写负数，形成“正负数是表示具有相反意义的量”的科学认识；（3）通过负数概念的演进历程，感受负数背后的数学理性精神，培养学生的人文情怀。

（二）教学设计

1. 在情境中引入

出示（多媒体）：学校三位老师，其中音乐老师刘老师身高158厘米，数学老师王老师身高168厘米，体育老师于老师身高178厘米。

谈话：如果以音乐老师的身高作为标准，怎样表示数学老师、体育老师的身高？

如果以数学老师的身高作为标准，怎样表示音乐老师、体育老师的身高？

激发学生的认知冲突：如果以数学老师的身高作为标准，音乐老师的身高为10厘米，体育老师的身高为10厘米，好像不科学。因为如果这样，音乐老师比数学老师矮，体育老师比数学老师高没有得到体现。

2. 在探究中创造

交流：以数学老师作为标准，如何表示音乐老师、体育老师的身高？

预设：①学生用文字说明，如“高10厘米”“低10厘米”；

②学生用图形表示，如“△10厘米”“▽10厘米”；

③学生用符号表示，如“10厘米”“ 10厘米”。

规定：历史上，数学家为了表示具有相反意义的量，想了很多办法，也出现了很多的表示方法。为了统一，直到20世纪初，才将负数的表示方法确定了下来。出示“你知道吗”，直接链接历史，丰富学生的人文知识。

读写：以体育老师的身高作为标准，如何表示音乐老师的身高和数学老师的身高呢？学生写出负数，并且读出负数。

质疑：同样是音乐老师，为什么和数学老师相比是“-10厘米”，和体育老师相比是“-20厘米”呢？由此深刻揭示标准量不同，表示的结果也就不同。

讨论：

①0表示什么？在自然数中，0表示“一个也没有”；在直尺上，0表示起点；在正数和负数中，0表示什么？

②0是正数还是负数呢？

3. 在生活中拓展

电梯上的负数；温度计上的负数；海平面中的负数；进出货中的负数等。

概括：正数和负数是表示具有相反意义的量，正数都大于0，负数都小于0，0既不是正数也不是负数。

4. 在练习中延伸

①数轴上的负数：在数轴上表示 +10和-10，思考+10和-10与原点0的距离。

②风速中的负数：刘翔在第十届世界田径锦标赛半决赛中，110米栏的成绩是13.42秒，当时赛场风速为每秒 -0.4米。那么，这里的-0.4米表示什么意思？

③产品说明上的负数：食品包装袋上有这样的标记“500±2g”是什么意思呢？

5. 在评价中小结

请同学们用“正负数”的知识，评评自己、同学的课堂表现。注：不满意用0分，非常不满意用-5分表示，满意用+5分表示，非常滿意用+10分表示。

三、结语

实践证明，学生在本节课中，充分经历了负数概念的诞生过程、负数符号的创生过程和负数意义的生发、拓展、延伸过程，获得了对负数概念的深刻理解，同时积累了数学探究的经验。在课堂上，学生跟随历史的脚步，通过生活实际中的例子进行探究、理解，循序渐进地形成了“负数”概念，追寻着“0”在负数的意义中所蕴含的思想，即0不仅表示没有，而且可以作为一个边界，作为一个标准。负数的诞生有因有果，自然而然。师生携手前行，共同探究负数的意义，共同体验负数符号规定的合理性、必然性。数学教学不再是空洞洞、干巴巴的，而是充满着质疑、批判、反思与自主建构，学生学得痛快、学得酣畅，充分感受、体验到了“负数”的本质。

某种意义上，人类对数学的探究过程就表现为“数”的疆域的拓展过程，从自然数到小数、分数，从正数到负数，从有理数到无理数，从实数到虚数等。因此，“数概念”的教学就应该而且必须融入数学史。如果说负数的概念、负数的意义是数学课程、数学教学机体的骨架，那么在负数教学中融入数学史则是数学课程、数学教学的血肉，它让数学教学变得丰满起来，让数学课堂变得润泽起来。对于数学史与数学教学的嫁接，常用的有两种方式：显性的链接式和隐性的融入式。运用数学史进行教学，能够让学生在重温、回顾、反刍负数的概念、意义时，能够自觉追寻其中所蕴含的数学文化、数学精神。在学生的反馈中，学生普遍反映，他们喜欢融入数学历史的课堂，喜欢有着丰富知识背景的知识学习，这样的学习不仅能够让他们深刻理解“数概念”，而且能够感受、体验到其中所蕴含的科学、人文精神与文化。