数学实验：打造学生数学学习的“四度空间”

张斌

摘 要：“数学实验”不仅是学生的研究方式，更是学生的学习方式。学生通过理解型实验、探究型实验、验证型实验和创造型实验，展开“具身性认知”。教学中，教师要精心设计数学实验，让学生充分地活动、充分地经历、充分地体验，促进学生实践与智慧的深入融合。

关键词：数学实验；数学学习；四度空间

数学是一门兼具演绎性和归纳性的学科。瑞士著名数学家欧拉曾经这样说，“数学这门学科，既需要观察，还需要实验。许多定理都是靠实验、归纳发现的，证明只是补充的手续”。在数学教学中，“数学实验”不仅是一种研究方式，更应作为学生学习的方式。所谓“数学实验”，是指学生为了探究数学知识、发现数学结论而进行的探究性、理解性、验证性或创造性的思维、操作活动。学生从“数学现实”出发，通过实验积淀数学活动经验，建构数学认知结构。

一、理解型实验，让儿童数学学习有温度

学生在生活、学习中会产生许多“迷思概念”“相异构想”（即与数学概念不一致的观念、想法等）。教学中，教师可以针对学生难以直观想象的数学公式、定理等，运用数学实验的方式点化学生思维，促进学生数学理解，让学生思维走向澄明、敞亮。教学中，教师应该站在“制高点”上审视数学知识，洞察数学知识的本质。

教学《圆锥的体积》，学生普遍认为“圆锥的体积是等底等高圆柱的体积的一半”，因为“直角三角形围绕两条直角边旋转可以得到圆锥，长方形围绕长、宽旋转可以得到圆柱，而直角三角形的面积是长方形面积的一半”。应该说，学生的合情猜想、推理是有充足理由的。如何纠正学生的迷思概念、想异构想？学生认为，应该“用事实说话”。围绕实验，学生制定了两种方案：一种方式是利用橡皮泥做成等底等高的圆柱和圆锥，然后将它们分别捏成长方体，求出面积后进行比较；另一种方式是利用等底等高的圆柱和圆锥形容器，直接注入水或沙子进行比较。经过全班交流，学生纷纷赞同第二种方案。同时，学生认为，沙子的空隙比较大，用水进行实验，可能更精准。通过对比，学生得出了结论：原来，圆柱的体积是等底等高的圆锥的体积的3倍。在数学实验面前，学生否定了头脑中存在的不正确观念，形成了科学的认知。

理解型实验，丰富了学生的感知，丰满了学生的表象，丰厚了学生的理解。数学的实验过程融合了学生的数学分析、推理，融合了学生的想象、猜想，融合了学生的思维、操作。学生从感性出发，在实验中积淀活动经验。理解型实验既直观、形象，又严密、深刻，在这个过程中，学生的数学思维拔节生长，逐步向理性迈进。

二、探究型实验，让儿童数学学习有坡度

学生的数学学习是学生从已知向未知的积极探究、建构的过程。因此，教师要变革机械的、学生被动接受的教学方式，赋予学生自主探究的时空、权利、方法等，给学生提供丰富多元的探究材料，引导学生积极参与、主动探究，把握数学知识的本质内核。在探究型实验过程中，学生亲历数学知识的形成过程，能够体验、享受到探究乐趣。

教学《周长是多少》，笔者引导学生分层次探究，让学生的数学学习有坡度。首先出示12个小正方形（边长为一个单位），让学生进行拼摆。学生拼摆出了3种不同规格的长方形：1×12；2×6；3×4。接着，笔者让学生分别计算长方形的周长。学生发现，尽管小正方形的个数是相同的，但所拼成的长方形的周长却是不同的。接着，笔者出示了一个由小正方形拼摆成的4×3的长方形（如图1），引导学生进行“探究型实验”。

实验1：拿走一个小正方形，剩下图形的周长会怎样变化？

实验前，学生猜想。有学生感性、简单地认为，既然是拿走一个小正方形，剩下图形的周长一定会减少。接着让学生展开实验探究，学生发现，如果拿走顶点的小正方形，剩下图形的周长不会发生变化；如果拿走不在顶点的小正方形，剩下图形的周长竟然会增加。

实验2：拿走两个小正方形，剩下图形的周长会怎样变化？

实验前，学生猜想。这一次，学生谨慎了许多，他们认为拿走两个小正方形，剩下图形的周长有可能增加，也有可能不变。但什么情况下剩下图形的周长增加，什么情况下剩下图形的周长减少呢？通过实验探究，学生发现，如果拿走的两个小正方形都在顶点上，或者两个连在一起的小正方形，其中一个小正方形在顶点上，剩下图形的周长不会发生变化；如果拿走的两个小正方形都不在顶点上，或者两个小正方形不相连，但其中一个小正方形在顶点上，则剩下图形的周长就会增加。

实验3：拿走三个小正方形，剩下图形的周长会怎样变化？

实验前，学生猜想。依据刚才的探究经验，学生纷纷认为，剩下图形的周长有可能增加，也有可能不变。经过实验探究，学生发现，这一次竟然出现了剩下图形的周长减少的情形，比如拿走1号、5号、9号。学生恍然大悟，大呼上当。经过这种层次性的探究实验，学生的思维变得更加严谨了。在此基础上，学生探究拿走4个、5个甚至更多的小正方形的情形。

郑毓信教授深刻地指出，“数学实验要实现对操作层面的必要超越”。探究型实验教学，层层递进，让学生思维从感性上升到理性，从随意上升到严谨。学生在探究型实验中学会了有序思考、分类思考、类比思考等多种数学实验探究、实验思考的方法，实现了数学实验活动的外化与学生数学思维品质的内化的有机融合。

三、验证型实验，让儿童数学学习有深度

数学实验是学生数学学习的“脚手架”，是学生自主建构知识的重要方式。某种意义上，数学实验的过程就是学生对数学知识进行猜测、验证、再猜想、再验证的过程。所谓“验证型实验”，是指学生已经知道或者大概知道结论，通过观察、操作、记录、分析等手段，对数学的某些定理、定义、公式进行证明或证伪。教学中，教师要引导学生大胆地提出合理猜想，同时要追问学生猜想的依据，帮助学生调整思路，不断提高学生猜想的水平。

教学《圆柱的体积》，一位教师运用长方形纸让学生卷成尽可能大的圆柱。显然，学生有两种卷法：一是沿着长方形的宽卷成圆柱；二是沿着长方形的长卷成圆柱。哪种长方形卷成的圆柱大呢？这位教师先让学生猜想，有学生认为，沿着宽卷成的圆柱体积大，因为这样卷成的圆柱高；有学生认为，沿着长卷成的圆柱体积大，因为这样卷成的圆柱胖；还有学生认为，这两种卷纸方法形成的圆柱体积一样大，因为都是用同一张纸卷的。接着，教师给出长方形长、宽的具体数据，让学生用计算的方法对自己的猜想进行验证。学生发现，沿着长卷成的圆柱体积大。问题看似解决了，但学生却心生疑问：或许只是“这一个”长方形纸沿着长卷成的圆柱体积大，其他的长方形是不是也是沿着长卷成的圆柱大呢？笔者在教学中，首先也让学生猜测，然后让学生举例验证，学生产生了同样的发现，经过不完全归纳，形成了统一认识。在此基础上，笔者引导学生回顾圆柱体积的推导过程，对圆柱体的诸多公式进行审视。学生恍然大悟，原来圆柱体积等于圆柱侧面积的一半乘圆柱的底面半径。圆柱的侧面积不变，所以圆柱的体积大小只与圆柱的底面半径有关。由于沿着长卷成的圆柱体的底面周长大，所以底面半径大，因此沿着长方形的长卷成的圆柱体积大。

验证型数学实验，有学生的操作、猜想、推理、验证，学生在“动手做”的历程中逐步打开被掩盖的思维轨迹。实验成为数学知识与学生思维融合的媒介，成为学生感性认知向理性认知提升的平台。学生在实验主题引领下，通过自己经历与体验发现数学、理解数学。

四、创造型实验，让儿童数学学习有宽度

“创造型实验”又称为“建构式实验”，是指学生尝试运用已有的数学知识、经验、方法、思想等对数学新知进行“再发现”“再创造”的活动。创造型实验对于培养学生的推理能力、实践能力和理性精神具有十分重要的作用。在创造型数学实验中，教师要激发学生的火热思考，拓宽学生数学学习的宽度。

教学《圆柱侧面积计算》，笔者给学生提供了一把剪刀、一个圆柱形的纸筒、一张白纸、一卷透明胶带等材料，让学生实验探究。在实验过程中，绝大部分学生的实验方法都是将圆柱形纸筒沿着高或者斜着剪成长方形或平行四边形。但班上有两位善于“玩数学”的学生别出心裁，他们将圆柱体压扁，变成了两个完全相同且连在一起的长方形，然后再复原成圆柱体。在这种“压扁——复原——压扁”的过程中，学生发现，每个长方形的长就是圆柱底面周长的一半，宽就是圆柱的高。因此，圆柱体的侧面积就应该是两个底面周长的一半乘高，也就是底面周长乘高。学生没有运用剪刀等材料，就自行创造出推演圆柱体侧面积的方法，不能不说是学生的智慧。正是由于教师赋予学生探究的自由，没有固化学生的思维，没有囚禁学生的想象，而是将数学实验过程向学生充分敞开，允许学生的异想天开，才让学生在数学实验中有了积极的创造。

“创造型实验”聚焦核心问题，导向数学本质。它基于学生立场，从学生视角出发，让学生充分地活动、充分地经历、充分地体验。通过数学化的实验，学生理解数学、解释数学或建构数学。在实验过程中，学生驰骋思维、自由想象，形成创造性的见解和主张。

瑞士心理学家皮亚杰深刻地指出，“活动是认识的基础，也是学生学习的建构方式”。在数学实验过程中，学生充分地观察、操作、想象、思维，他们用自己的全部感官参与实验，形成一种“具身性認知”。作为教师，要科学合理地安排数学实验，恰当地进行数学实验教学，让学生的数学学习有温度、有坡度、有深度、有宽度。