数学教学中初中生几何直观的培养

黄梓怡

【摘要】学生在初中阶段从小学的直观、操作性数学学习转向理性思维、演绎推理、证明性学习，因此数学课程中应当注意培养和发展学生的数学几何直观能力，在动手画图中感知几何直观，在分析图形中培养几何直观，利用数形结合解答数学题时应用几何直观思想，从而帮助学生扩宽数学思维，解决学生在数学学习时遇到的困难。

【关键词】几何直观 画图 数形结合

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）11-0135-02

引言

几何直观是数学新课程标准里十大核心概念之一，几何直观通俗讲就是将复杂的数学问题利用图形描绘、分析而使其变得简单、形象，数学的精髓在于数学知识中所蕴含的数学思想方法，通过“以形助数”和“以数辅形”，几何直观思想可以有助于学生直观地理解数学，在小学阶段学生的思维水平离不开具体事物的支持，数学问题具体化，问题就容易理解。那么中学阶段学生思维慢慢向形式化阶段靠拢，用数学抽象思维代替数学直观，就需要培养和发展学生的几何直观。因此几何直观在整个数学中也有着重要的作用和广泛的应用。

一、绘画图形，感知几何直观

布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个发展阶段：动作认知（操作水平）、图形认知（表象水平）和符号认知（分析水平）。在小学阶段中学生对数学知识的理解往往通过实物观察，而步入初中阶段对学生的数学思维要求就更高。不管是教科书中的例题出现还是思想方法的运用，都体现出几何直观的思维之重要。教师在课堂上要充分挖掘教学精髓，敢于发展学生的空间想象能力，敢于画出对习题理解所得到的图形，引导学生把看似复杂的语言文字用简单明了的数学图形或者符号表示出来，这样问题与条件关系就可以理清，问题就能迎刃而解。

例如（2017陕西西安三十九中，13）学生在学习平行四边形的应用时，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=4， ∠DAB=60°，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥DC，垂足为E，则求OE的长度？这道题学生在没有图形的情况下是无法理解题意从而进行解答，教师要提示学生运用数学工具画出图形，在绘画图形的的过程中不单单是纯粹的画图，也是一种加深理解题意的方式。

在直观图的支撑下，教师引导学生观察直观图，想求出OE的长度就要转化到三角形中，那么在三角形DOC中无法找到相应的条件去解决问题，通过引导回忆平行四边形的性质可以得到延长EO交AB于点F，这时EF就是平行四边形的高，求OE，就转换成求平行四边形的高，如图所示：

而已知条件给出∠DAB=60°，求平行四边形的高就接着转化成过点D的高，这样已知AD=4，∠DAB=60°数形结合可以得出DG的长，从而可以求出OE的长度。学生通过自己的动手绘图在解决问题时有一个更清晰的思路，学生在学习时看图形比读文字更快速获取已知条件，使学生真切体验到运用几何直观的方便快捷。对几何直观有了最基本的认识，初步体验到几何直观在解题中的应用。

二、分析图形，培养几何直观

新课标提出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”当学生学会根据题意画图后还远远不够，还需要学生学会识图、读图、分析图，对题中出现的已知信息进行自我组合，结合图形找准对应的数量关系，从而顺利解答题目。

例如（2017黑龙江哈尔滨，20）如图在矩形ABCD中，M为BC边上的一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E，若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长是多少？题中给出图形和已知条件这时需要学生独立思考分析图形由已知条件能否创造条件去解决问题。

师：题中要求求出BM的长度？而给出的条件是，DE=DC=1，AE=2EM，那么通过这些条件可以得到什么？（学生这时候一般情况下得不到什么结论）这时老师继续引导画一条辅助线，连接DM。

生（观察这条辅助线）：可以得到EM=CM，因为∠DEM=90°，∠DCM=90°，DE=DC=1，△DEM和△DCM全等，得出EM

=CM。

师：仅仅找到的CM数量关系是不够的，能否找到的CB数量关系？

生1：BC=AD转化成求AD的长度。

生2：用方程思想设未知数表达CB的数量关系。

师：同学们的这些想法都非常好，能不能大家讨论一下看怎么结合方程思想去表示出CB或者AD？

经过一番讨论后老师跟着学生的思路假设CM=EM=x，这时可以根据题中已知条件写出AE=2x，从而通过勾股定理表达出AD2=1+4x2。这时候同学们会发现依靠这一个式子解不出未知数的值，需要继续寻找相关等量关系，老师提示学生观察图形AD和BM分别在△AED和△MBA中，是不是可以证明这两个三角形全等或者相似呢？学生经过提示证明出这两个三角形全等，因此MA=AD=3x，因此得出AD2=1+4x2=9x2，从而解出方程得到BM的长度。

解答問题过程中单单看文字经常是无从下手，训练学生画出图形以后数形结合，根据图形里所隐藏的丰富的数学信息，更准确的找出每一个数量关系。既可以为学生的独立动手能力打下基础，又可以快速理清题目的数学思路。学生的几何直观培养和训练是一个过程，不能急于求成，当学生解题遇到瓶颈，教师应当有意识的引导学生运用绘图辅助解题。

三、数形相辅，发展几何直观

数学的语言表达抽象而又复杂，当数学的抽象用直观明了的几何图形表达出来，那么学生在解题道路上越走越轻松，有了数与形的相辅相成，相互转化，数学可以突破理解题意的难点，培养出更宽阔的数学思维，有助于学生一题多解、一题多变，通过图形的变化，培养其创造精神和丰富的空间想象能力。

例如（2015重庆巴南，12）矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y=■在第一象限内的图像经过点D，且分别交AB、BC于E、F两点，若四边形BEDF的面积为6，则k的值是多少？

在图形的辅助下，教师适当地加以启发，从问题入手用逆向思想寻找已知条件，问题是求k的值，也就是要求反比例函数，由图像观察发现反比例函数上有三个点分别是点F、D、E，求出这三个点的坐标也就可以得出反比例函数的表达式了。在已知条件中给出点D是OB的中点，那么教师在这个地方要提问学生点D的坐标和点A坐标、点B坐标都有什么关系？学生会靠拢老师提问的方向去思考这些点的坐标关系，于是点D在反比例函数图像上可以得出假设点Dm， ，那么随之就可以写出点，点A（2m， 0），同时我们也可以看出点F和点C的纵坐标相等，点E和点A的横坐标相等，带入反比例函数解析式即可写出这两点坐标，即，回到题干中剩下一个条件没有用上，四边形的面积再次通过图形观察出是由△FDB和△BDE的面积和构成，转化成求两个三角形的面积，三角形上的点之间的距离可以得出三角形的底边和高，从而构成一个含有m和k的方程，即=6求出了k的取值。

这道题同样体现了图形的重要性，复杂的运算推理通过直角坐标系的建立变得清晰简洁，这种简单的数学模型的构建跳出了题目本身的繁杂，让问题迎刃而解。

总结

作为数学教师应当在熟知数学教材的同时，对教材编写者的良苦用心有基本的了解，将几何直观的思维有意识地引导、潜移默化地渗透进学生的脑海里。让学生逐渐形成几何直观的意识和能力，用几何直观地思想方法对数学的一题多变、一题多解中的灵活性有更强的解决能力，真正做到举一反三、事半功倍。充分调动学生对于数学学习的积极性，给数学教学带来更好的效果。

参考文献：

[1]李碧霞.论数学教学中小学生几何直观的培养[J].福建教育学院学报.2014.

[2]张奠宙，沈文选.中学几何研究[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]伯拉斯基.中学数学几何教学法[M].人民教育出版社，1954.