Hilfer分数阶微分方程解的延拓性

孙 瑜，顾海波＊，张艳辉，王仁正

（1.新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017；2.巴楚县第二中学，新疆 巴楚 843800）

文章考虑带有初值条件类型的Hilfer分数阶微分方程：

其中是Hilfer分数阶微分算子，f∶R+×R→R是给定的连续函数是Riemann-Liouville分数阶积分。

分数阶微积分也被称为广义或任意阶微积分，主要是针对任意阶微分方程进行积分和导数相关理论及应用的研究。分数阶微积分在科学和工程等多种领域得到实践应用，在控制、系统与信号处理方面尤为突出。

几个世纪以来，研究者已经对整数阶微分方程有了深入的探索，并建立了极为系统和严密的理论体系。相对于整数阶微分方程的研究，分数阶微分方程相关理论的研究发展缓慢。然而，近些年来随着分数阶微分方程在众多领域的应用实践，方程模型大量涌出，研究者依据整数阶微分方程的研究思路和方法，对分数阶微分方程有了更为深入的探究。

因此，文章研究了Hilfer分数阶微分方程解的延拓性，全文由三个部分组成。第一部分列出文章中所需要的定理、引理、注记。第二部分中应用Schauder不动点定理，证明解的局部存在性。第三部分，延续了经典微分方程连续性定理的研究思想和方法，进一步讨论Hilfer分数阶微分方程初值问题延拓定理及分数阶微分方程解的全局存在性。

1 预备知识

本章列出一些有用的定义、引理、定理等。

设-∞＜a＜b＜∞，且C[a,b]、AC[a,b]和Cn[a,b]是连续空间，则分数阶微分方程在[a,b]上是n次连续的。

定义1.1 令α∈(0,1)且f(t)在[]a,b是可积的，Riemann-Liouville分数阶积分定义如下：

如果 f(t)∈C[a,b]，Riemann-Liouville分数阶导数定义为

定义1.2 函数f(x)的Hilfer分数阶微积分定义为

注1.3［1］β=0和β=1时，Hilfer导数分别为Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数。

注1.5 设C[a,b]是所有连续函数定义在[a,b]的Banach空间。规定设 C1-γ[]a,b其中γ∈(0,1]，规定易证明C1-γ[]a,b也是一个Banach空间。

引理1.6［3］设g∈C[c , b]且g在C上是连续的，则

引理1.7［5］设α＞0, β＞0，

引理1.8［12］［列紧集］令U是[0 , T]上的一个子集，则U是列紧集当且仅当：

（i）{x1-γy(x):y∈U}是一致有界；

（ii）{x1-γy(x):y∈ U}在[0，T]上是等度连续的。

定理1.9［18］［Schauder不动点定理］令U是Banach空间X上的一个闭的、凸的、非空的子集，若T：U→U是一个完全连续映射，则T在U上至少有一个不动点。

定理 1.10［12］设 f是定义在(a,b] ×R→R上的函数,对任意y∈[a,b] 有 f(·,y(·))∈[a , b],则y∈[a,b]是方程（1）的解当且仅当y满足下列混合积分方程

其中Γ(·)是伽马函数。

2 分数阶微分方程解的局部存在性研究

在有些情况下，函数f(x,y(x))存在奇异性，本节应用不动点定理，得到一个方程（1）新的解的局部存在性定理。

为了方便起见，先列出下列的假设：

（H）设方程（1）中的 f∶R+×R→R是连续函数，且存在一个常数0≤γ＜1，使得(By)(x)=xσf(x,y(x))是从C1-γ[0，X]到C[0，X]上的一个连续有界映射，其中X是一个正数。

定理2.1 假设条件（H）成立，则对于取定0＜h＜X，方程（1）至少有一个解y∈C1-γ[0 , h].

证明：设

此时算子B是有界的，这里存在一个常数M，使得

再设

显然可知，Dh是一个非空、有界紧的凸子集。

一方面，h≤X，把Dh和C1-γ[0，h] 视为E和C1-γ[0，X]的约束条件。

特别地，对算子作如下定义：

由（H）和引理可知T(C1-γ[0，h] )⊂C1-γ[0，h].

另一方面，由（3）式知，对任意x∈C1-γ[0，h]，有

其中，则可得到TDh⊂Dh,即T是Dh→Dh上的一个映射。接下来证明T是一个完全连续映射，共分为两个步骤完成。

步骤1 证明算子T是连续的。

设yn,，则

由B的连续性，可知，所以当n→∞时，由此可得T是连续的。

步骤2 证明算子T是等度连续的。

令y∈Dh且0≤x1＜x2≤h，对任意ε＞0,当x→0+，有

这里存在一个0＜σ1＜h，使得对于x∈[0 , σ1]

在这种情况下，对任意x1,x2∈[0 , σ1]，可得

对于0≤s＜η1，有

另一方面

因为TDh⊂Dh，所以{x1-γ(Ty)(x):y∈Dh}是一致有界的，由引理可知，TDh是准紧的，因为T是等度连续的，由不动点定理和引理，方程（1）存在局部解，证毕。

3 分数阶微分方程解的延拓定理研究

本章研究方程（1）解的延拓，进一步讨论解的全局存在定理。尝试从普通微分方程入手，研究分数阶微分方程的延拓定理。

3.1 初值问题解的延拓定理Ι

首先，给出以下定义。

定义3.1.1 令定义在（0，λ）上的y(x)和定义在（0，）上的)都是方程（1）的解，如果，则对任意x∈(0,λ)有y(x)))是y(x)的延拓，或者说y(x)能延拓到（0，）上。方程解y(x)的不可延拓区间称为y(x)的最大存在区间。

为了得到初值问题的延拓定理，应该知道以下引理。

引理3.1.2 设0＜γ≤1,λ＞0,h＞0,0≤σ＜1，则

在[λ，λ+h]是连续的。

现在，在上述条件下给出下列定理。

定理3.1.3 （初值问题解的延拓定理Ι）假设（H）的条件已经满足，则y=y(x)在x∈(0,λ)上是不可延拓的充要条件是：对某些τ∈和任意有界闭子集D⊂[τ,+∞)×R，存在一个∈[τ,λ)，使得

证明：“⇐”反证法

假设y=y(x)是可延拓的，则方程（1）存在定义在(0)(上的一个解，则对 x∈(0,λ)，使得y(x)=yˉ(x)，即，定义y(λ))，显然可知是[τ，∞)×R上的紧子集，然而，不存在^∈[τ,λ) ,使得()∉A，故反面成立，即y(x)是不可延拓的。

“⇒”不可延拓证明过程分为两步。

假设存在一个紧子集D⊂[τ,+∞)×R，使得{(x,y(x)):x∈[τ,λ) } ⊂D在D上是紧致的，其中λ＜+∞，由（H）

知，这里存在一个N＞0，使得

构造算子：

和

容易看出Q(s,x)和P(x)在[2τ,λ]×[2τ,λ] 和[2τ,λ]上是一致连续的。

对于∀x1,x2∈[2τ,λ)，x1＜x2，有

由Q(s,x)的一致连续性和P(x)的柯西收敛准则，使得存在。

步骤2 证明y(x)是连续的。

定义算子

此时，y∈C[λ,λ+1]由引理可知Z(C[λ，λ+1])⊂C[λ，λ+1].

其中，得到(Zy)(x)在Dh是完全连续的。

由于对任意y∈ Dh，有(Zy)(λ)=y1(λ)和

因此ZDh⊂Dh.接下来要证明Z是一个完全连续映射，证明过程共分为两步完成。

（1）证明算子Z是连续的。

由于f在Dh上的连续性，当n→0，有，因此，当n→∞时。由此可得Z是连续的。

（2）证明ZDh是等度连续的。

由引理知道S(x)在[λ，λ+h]上是连续的，对∀y∈Dh,λ≤x1≤x2≤λ+h.则有

由于S(x)在[λ，λ+h]上是一致连续的，可得{(Zy)(x)∶y∈Dh}是等度连续的,因此，Z是完全连续的映射。由不动点定理，Z有不动点.

此时

3.2 初值问题解的延拓定理Ⅱ

定理3.2（初值问题解的延拓定理Ⅱ）

假设（H）的条件已满足，则y=y(x)在x∈（0，λ）不可延拓的充要条件是.其 中

证明：“⇐”反证法证明

“⇒”反证法证明

由于{y(xn)}的有界性，{y(xn)}有一个收敛数列，具有普遍性。

令

可得

对任意给定的ε＞0，存在X∈(0,λ)，使得| y (x)-y∗|＜ε,x∈(X，λ) .

＞τ，对于n≥n0，有

此处的P(x)在定理3.1.3的证明中已定义。

由于P(x)在[xn0,λ]上的连续性，则对足够大的n≥n0，有

应用定理3.2中不可延拓的充要条件，能够快速得到方程（1）解的全局存在性相关推论.

推论3.3（分数阶微分方程初值问题解的全局存在性定理）假定如果条件（H）成立，令y(x)是方程（1）在(0,λ)上的一个解，如果对取定τ＞0，y(x)定义在[τ，λ)上是有界的，则λ=+∞。

参考文献：

［1］Hilfer.R，Applications of fractional Calculus in Physics［M］.World Scientific，Singapore，1999.

［2］Baleanu.D，Machado.J.A.T，Luo.A.C.J，Fractional Dynamics and control［M］.Springer，New York，2012.

［3］Kilbas.A.A，Srivastava.H.M，Trujillo.J.J，Theory and Applications of Fractional Differential Equations［M］.Elsevier Science B.V，Amsterdam，2006.

［4］Miller.K.S，Ross.B，An Introduction to the fractional calculus and Differential Equations［M］.John Wiley，New York，1993.

［5］Podubny.I，Fractional Differential Equations［M］.Academic Press，New York，1999.

［6］Zhou.Y，Basic Theory of Fractional Differential Equations［M］.World Scientific，Singapore，2014.

［7］Pagnini.G，Short note on the emergence of fractional kinetics［J］.Phys.A，2014,（409）：29-34.

［8］West.B.J，Fractional calculus view of complexity：a tutorial［J］.Rev.Mod.Phys.，2014,（86）：1169-1184.

［9］Zhou.Y，Jiao.F，Nonlocal Cauchy problem for fractional differential equations［J］.Nonlinear Anal.：RWA，2010，（11）：4465-4475.

［10］Stamova.I，Global stability of impulsive fractional differential equations［J］.Appl.Math.Comput.，2014,（237）：605-612.

［11］Hilfer.R,Luchko.Y,Tomovski.Z，Operational method for the solution of fractional differential equations with generalized Riemann-Liouville fractional derivatives［J］.Fract.Calc.Appl.Anal.，2009,（12）：289-318.

［12］Furati.K.M，Kassim.M.D,Tatar.N.E，Existence and uniqueness for a problem involving Hilfer fractional derivative［J］.Comput.Math.Appl.，2012,（64）：1616-1626.

［13］Furati.K.M，Kassim.M.D，Tatar.N.E，Non-existence of global solution for a differential equation involving Hilfer fractional derivative［J］.Electron.J.Diff.Eq.，2013,（235）：1-10.

［14］Agrwal.R.P，Lakshmikantham.V，Nieto.J.J，On the concept of solution for fractional differential equations with uncertainty［J］.Nonlinear.Anal.：TMA，2010，（72）：2859-2862.

［15］Babakhani.A，Gejji.V.D，Existence of positive solutions of nonlinear fractional differential equations［J］.Math.Anal.Appl.，2003,（278）：434-442.

［16］Diethlm.K,Ford.N.J，Analysis of fractional differential equations［J］.Math.Anal.Appl.，2002,（278）：229-248.

［17］Kou.C.H,Liu.J，Yan.Y，Existence and uniqueness of solutions for the Cauchy-type problems of fractional differential equations［J］.Discr.Dym.Nat.Soc.，2010，（2010）：142-175.

［18］Granas.A，Dugundji.J，Fixed Point Theory［M］.Springer，Berlin，2003.