详写过程 按步答题
2018-05-07王磊
一、解答程序要完整
所谓答题程序，就是指要准确地写出我们所设的未知数的意义，写出引用的概念或者定理，要有必需的计算过程，应用题别忘记写“答”.
例1 （2017·海南）（10分）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1∶1（即DB∶EB=1∶1），如图1所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC.
图1
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
【试题分析】本题考查了梯形的相关知识，需要运用解三角形的知识进行解答.在书写过程中，要注意单位、比例式、公式等过程书写的完整性.
【解答过程】设BC=x.
在△ABC中，∠CAB=180°-∠EAC=50°.（2分）
AB=[BCtan50°]≈[BC1.2]=[56x]，（4分）
在Rt△EBD中，i=DB∶EB=1∶1，∴BD=BE，
∴CD+BC=AE+AB，（6分）
即2+x=4+[56x]，解得x=12，
即BC=12.（9分）
答：水坝原来的高度为12米.（10分）
二、计算过程要详细
当遇到一些计算问题，我们要详细地写出计算过程，不能认为不重要而省略不写.
例2 （2017·宁波）（8分）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
图2
如图2，将矩形的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE.
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若矩形是边长为1的正方形，且∠FEB
=45°，tan∠AEH=2，求AE的长.
【试题分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、正方形的性质和解直角三角形的相关知识，需要进行计算的地方较多，注意计算过程要详细.
【解答过程】（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，又∵BF=DH，
∴AD+DH=BC+BF，即AH=CF.（2分）
在Rt△AEH中，EH=[AE2+AH2].
在Rt△CFG中，FG=[CG2+CF2].
∵AE=CG，∴EH=FG.（3分）
同理得：EF=HG.
∴四边形EFGH为平行四边形.（4分）
（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1，
设AE=x，则BE=x+1.
∵在Rt△BEF中，∠EFB=45°，
∴BE=BF.（5分）
∵BF=DH，∴DH=BE=x+1，
∴AH=AD+DH=x+2.（6分）
∵tan∠AEH=2，
∴AH=2AE，∴2+x=2x.（7分）
∴x=2，即AE=2.（8分）
三、推理过程要严密
在解答四边形的相关问题时，同学们往往会先采用逆向思维对题设进行剖析，然后再书写解题过程.此时我们要注意，推理过程是否严密，说理过程是否符合逻辑.
例3 （2016·连云港）（8分）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO.
图3
【试题分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，思路清晰地写出推理过程是解题的关键.
【解答过程】证明：（1）∵BE=DF，
∴BE-EF=DF-EF，
即BF=DE，（2分）
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE与Rt△CBF中
[AD=BC，DE=BF，]
∴Rt△ADE≌Rt△CBF.（4分）
（2）如图4，连接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，（6分）
图4
∴AD∥BC，又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO.（8分）
四、提高审题的精确度
四边形的知识往往会与很多操作性问题相结合，构成压轴题.此时，我们的审题要准确，搞清顶点、边、角之间的关系，仔细观察、细致分析.
例4 （2017·山西）（12分）
背景阅读
早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中.为了方便，在本题中，我们把三边的比为3∶4∶5的三角形称为（3，4，5）型三角形.例如：三边长分别为9，12，15或[32]，[42]，[52]的三角形就是（3，4，5）型三角形.用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.
实践操作
如图5，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm.
第一步：如图6，将图5中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平.
第二步：如图7，将图6中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF.
第三步：如图8，将图7中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平.
问题解决
（1）请在图6中证明四边形AEFD是正方形.
（2）请在图8中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明.
（3）请在图8中证明△AEN是（3，4，5）型三角形.
探索发现
（4）在不添加字母的情况下，图8中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称.
【试题分析】本题以矩形为载体，通过对折叠后得到的图形进行深入探究，发现规律，再应用规律解决新问题.本题考查了四边形和勾股定理的相关知识，检验了同学们的抽象思维能力.
【解答过程】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAE=90°.（1分）
由折叠知：AE=AD，∠AEF=∠D=90°，
∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形.（2分）
∵AE=AD，∴矩形AEFD是正方形.（3分）
（2）NF=ND′.证明如下：连接HN.
图9
由折叠知：
∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′.（4分）
∵四边形AEFD是正方形，∴∠EFD=90°.
∵∠AD′H=90°，∴∠HD′N=90°.（5分）
在Rt△HNF和Rt△HND′中，HN=HN，HF=HD′，
∴Rt△HNF≌Rt△HND′，
∴NF=ND′.（6分）
（3）∵四邊形AEFD是正方形，
∴AE=EF=AD=8，
由折叠知：AD′=AD=8，
设NF=x，则ND′=x，AN=AD′+ND′=8+x，
EN=EF-NF=8-x.（7分）
在Rt△AEN中，由勾股定理得：
AN2=AE2+EN2，
即（8+x）2=82+（8-x）2，解得：x=2，（8分）
∴AN=8+x=10，EN=6，
∴EN∶AE∶AN=6∶8∶10=3∶4∶5，
∴△AEN是（3，4，5）型三角形.（9分）
（4）△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN相似的三角形都是（3，4，5）型三角形，所以答案为：△MFN，△MD′H，△MDA.（12分）
