【点评】判断给定的三条线段能否组成三角形,只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.
考点2 三角形的内角和
例2 (2017·郴州)小明把一副含45°,30°的直角三角板如图1摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于( ).
A.180° B.210° C.360° D.270°
【分析】题中已知一副三角板六个内角的度数,∠α、∠β是三角形的两个外角,要求∠α+∠β度数,可以考虑利用三角形的外角性质转化为三角板的内角度数来求解.
解:如图2,不妨设AB与DE交于点G,EF与AB交于点H,由三角形的外角性质可知:∠α=∠A+∠AGD,∠β=∠B+∠BHF,由于∠AGD=∠EGH,∠BHF=∠EHG,所以∠AGD+∠BHF=∠EGH+∠EHG=180°-∠E=180°-(90°-∠D)=120°,所以∠α+∠β=∠A+∠B+∠AGD+∠BHF=90°+120°=210°,故应选B.
【点评】在计算与三角形有关的角度时,首先应判断出待求角与已知角之间的关系,再合理选用三角形的内角和定理或外角性质求解.
考点3 全等三角形的性质与判定
例3 (2017·常州)如图3,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.
(1)求证:AC=CD;
(2)若AC=AE,求∠DEC的度数.
【分析】(1)根据同角的余角相等可得到∠ACB=∠DCE,结合已知条件∠BAC=∠D, BC=CE,利用“AAS”可以证明△ABC≌△DEC,根据全等三角形的性质即可得证.
(2)根据∠ACD=90°,AC=CD,得到∠CAD=∠D=45°,又AC=AE,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求∠AEC的度数,然后依据平角的定义求∠DEC的度数.
(1)证明:∵∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,
∴∠BCA=∠ECD.
在△BCA和△ECD中,
[∠BCA=∠ECD,∠BAC=∠D,BC=CE,]
∴△BCA≌△ECD,
∴AC=CD.
(2)解:∵∠ACD=90°,AC=CD,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴∠DAC=45°,
∵AC=AE,
∴∠AEC=∠ACE=[12](180°-∠DAC)
=[12](180°-45°),
∴∠DEC=180°-∠AEC
=180°-[12](180°-45°)
=112.5°.
【点评】证明两条线段相等或两个角相等时,通常采用的方法是证明这两条线段或这两个角所在的三角形全等.
考点4 等腰三角形的性质与判定
例4 (2017·连云港)如图4,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.
【分析】(1)根据全等三角形的判定定理“SAS”可以证明△ABE≌△ACD,然后利用全等三角形的对应角相等即可得证;(2)由AB=AC,得∠ABC=∠ACB,又根据(1)的结论可得∠ABE=∠ACD,则∠FBC=∠FCB,由等角对等边可得FB=FC,依据垂直平分线的判定即可证明结论.
(1)解:∠ABE=∠ACD,理由如下:
在△ABE和△ACD中,
[AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,]
∴△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
(2)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
由(1)可知∠ABE=∠ACD,
∴∠FBC=∠FCB,
∴FB=FC,
∵AB=AC,
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.
【点评】在三角形中,证明两条线段或两个角相等时,如果线段或角在同一个三角形中,则先考虑用“等边对等角”“等角对等边”来证明.
考点5 勾股定理及其逆定理
例5 (2017·安顺)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于
.
【分析】先根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解
解:∵32+42=25=52,
∴该三角形是直角三角形,
∴最长边上的中线长=[12]×5=2.5.
【点评】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的重要方法,应先确定最长边,然后验证两条较短的边的平方和是否等于最长边的平方.
考点6 直角三角形的性质
例6 (2017·龙东)如图6,在△ABC中,AB=BC=8,AO=BO,点M是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°.则当△ABM为直角三角形时,AM的长为 .
图6
【分析】注意到点M位置的不确定性,因此考虑分类讨论解决此题,分类的标准是看△ABM中哪个顶点可能是直角顶点.分好类以后,画出草图,根据已知给出的数据逐个计算即可.
解:(1)如图7,当点B为直角三角形ABM的直角顶点时,
∵AB=8,点O为AB中點,∴OB=4,
∵∠AOC=60°,∴∠BOM=60°,
∴∠OMB=30°,∴OM=8,
在Rt△OBM中,由勾股定理得BM=[43],
在Rt△ABM中,由勾股定理得AM=[AB2+BM2]=[47].
(2)如图8,当点M在△ABC外部且点M为直角三角形ABM的直角顶点时,
∵点O为AB中点,∴OM=OB,
∵∠BOM=∠AOC=60°,
∴△BOM是等边三角形,
∴∠OBM=60°,∴∠BAM=30°,
∴BM=[12]AB=4,在Rt△ABM中,由勾股定理得AM=[43].
(3)如图9,当点M在△ABC内部且点M为直角三角形ABM的直角顶点时,同(2)可得△AOM是等边三角形,∴AM=AO=4.
综上所述,AM的长为[47]或[43]或4.
【点评】在直角三角形中,“30°角所对的直角边等于斜边的一半”揭示的是直角边与斜边的关系,它在求直角三角形中的线段长时能起到关键的作用.
(作者单位:江西省赣县江口中学)