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中考“三角形”考点分析

2018-05-07康海芯

初中生世界·九年级 2018年3期
关键词:外角直角度数

考点1 三角形的三边关系

例1 (2017·淮安)若一个三角形的两边长分别为5和8,则第三边长可能是( ).

A.14 B.10 C.3 D.2

【分析】已知三角形的两边求第三边时,依据“已知两边的差(长边减短边)<第三边<已知两边的和”构造不等式组求解.

解:设这个第三边长为a,根据“三角形三边之间的关系”得8-5

【点评】判断给定的三条线段能否组成三角形,只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.

考点2 三角形的内角和

例2 (2017·郴州)小明把一副含45°,30°的直角三角板如图1摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于( ).

A.180° B.210° C.360° D.270°

【分析】题中已知一副三角板六个内角的度数,∠α、∠β是三角形的两个外角,要求∠α+∠β度数,可以考虑利用三角形的外角性质转化为三角板的内角度数来求解.

解:如图2,不妨设AB与DE交于点G,EF与AB交于点H,由三角形的外角性质可知:∠α=∠A+∠AGD,∠β=∠B+∠BHF,由于∠AGD=∠EGH,∠BHF=∠EHG,所以∠AGD+∠BHF=∠EGH+∠EHG=180°-∠E=180°-(90°-∠D)=120°,所以∠α+∠β=∠A+∠B+∠AGD+∠BHF=90°+120°=210°,故应选B.

【点评】在计算与三角形有关的角度时,首先应判断出待求角与已知角之间的关系,再合理选用三角形的内角和定理或外角性质求解.

考点3 全等三角形的性质与判定

例3 (2017·常州)如图3,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.

(1)求证:AC=CD;

(2)若AC=AE,求∠DEC的度数.

【分析】(1)根据同角的余角相等可得到∠ACB=∠DCE,结合已知条件∠BAC=∠D, BC=CE,利用“AAS”可以证明△ABC≌△DEC,根据全等三角形的性质即可得证.

(2)根据∠ACD=90°,AC=CD,得到∠CAD=∠D=45°,又AC=AE,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求∠AEC的度数,然后依据平角的定义求∠DEC的度数.

(1)证明:∵∠BCE=∠ACD=90°,

∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,

∴∠BCA=∠ECD.

在△BCA和△ECD中,

[∠BCA=∠ECD,∠BAC=∠D,BC=CE,]

∴△BCA≌△ECD,

∴AC=CD.

(2)解:∵∠ACD=90°,AC=CD,

∴△ACD是等腰直角三角形,

∴∠DAC=45°,

∵AC=AE,

∴∠AEC=∠ACE=[12](180°-∠DAC)

=[12](180°-45°),

∴∠DEC=180°-∠AEC

=180°-[12](180°-45°)

=112.5°.

【点评】证明两条线段相等或两个角相等时,通常采用的方法是证明这两条线段或这两个角所在的三角形全等.

考点4 等腰三角形的性质与判定

例4 (2017·连云港)如图4,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.

(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;

(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.

【分析】(1)根据全等三角形的判定定理“SAS”可以证明△ABE≌△ACD,然后利用全等三角形的对应角相等即可得证;(2)由AB=AC,得∠ABC=∠ACB,又根据(1)的结论可得∠ABE=∠ACD,则∠FBC=∠FCB,由等角对等边可得FB=FC,依据垂直平分线的判定即可证明结论.

(1)解:∠ABE=∠ACD,理由如下:

在△ABE和△ACD中,

[AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,]

∴△ABE≌△ACD,

∴∠ABE=∠ACD.

(2)证明:∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

由(1)可知∠ABE=∠ACD,

∴∠FBC=∠FCB,

∴FB=FC,

∵AB=AC,

∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.

【点评】在三角形中,证明两条线段或两个角相等时,如果线段或角在同一个三角形中,则先考虑用“等边对等角”“等角对等边”来证明.

考点5 勾股定理及其逆定理

例5 (2017·安顺)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于

.

【分析】先根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解

解:∵32+42=25=52,

∴该三角形是直角三角形,

∴最长边上的中线长=[12]×5=2.5.

【点评】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的重要方法,应先确定最长边,然后验证两条较短的边的平方和是否等于最长边的平方.

考点6 直角三角形的性质

例6 (2017·龙东)如图6,在△ABC中,AB=BC=8,AO=BO,点M是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°.则当△ABM为直角三角形时,AM的长为 .

图6

【分析】注意到点M位置的不确定性,因此考虑分类讨论解决此题,分类的标准是看△ABM中哪个顶点可能是直角顶点.分好类以后,画出草图,根据已知给出的数据逐个计算即可.

解:(1)如图7,当点B为直角三角形ABM的直角顶点时,

∵AB=8,点O为AB中點,∴OB=4,

∵∠AOC=60°,∴∠BOM=60°,

∴∠OMB=30°,∴OM=8,

在Rt△OBM中,由勾股定理得BM=[43],

在Rt△ABM中,由勾股定理得AM=[AB2+BM2]=[47].

(2)如图8,当点M在△ABC外部且点M为直角三角形ABM的直角顶点时,

∵点O为AB中点,∴OM=OB,

∵∠BOM=∠AOC=60°,

∴△BOM是等边三角形,

∴∠OBM=60°,∴∠BAM=30°,

∴BM=[12]AB=4,在Rt△ABM中,由勾股定理得AM=[43].

(3)如图9,当点M在△ABC内部且点M为直角三角形ABM的直角顶点时,同(2)可得△AOM是等边三角形,∴AM=AO=4.

综上所述,AM的长为[47]或[43]或4.

【点评】在直角三角形中,“30°角所对的直角边等于斜边的一半”揭示的是直角边与斜边的关系,它在求直角三角形中的线段长时能起到关键的作用.

(作者单位:江西省赣县江口中学)

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